分布関数（CDF）

確率変数が値 $x$ 以下となる確率を $x$ の関数として表したもの。密度を積分して作る、値域を区間に分けて区間ごとに式を書き分ける、確率を分布関数の値として読み替える、微分して密度に戻す、という分布関数そのものの組み立てと読み替えを扱う。変数変換 $Y=g(X)$ の密度を $g$ の単調性と微分から求める手順（単調でない場合の分布関数法を含む）は扱わない。

【密度から作る・密度へ戻す】 連続型では $F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$ と積分して作り、$f(x)=F'(x)$ と微分して戻します。積分の向きは「左端から $x$ まで」で、上端が変数、下端が台の左端です。戻すときは合成関数の微分に注意します。$F_Y(y)=F_X(h(y))$ の形なら $f_Y(y)=f_X(h(y))\,h'(y)$ で、内側の微分 $h'(y)$ を落とすと尺度がずれます。

【区間ごとに書き分ける】 台が区分的なとき、あるいは $Y=g(X)$ の $g$ が折れ線のとき、分布関数の式は区間ごとに変わります。書き方は 3 段です。第1に値域を境界で区切ります。第2に各区間で $P(Y\le y)$ を $X$ の事象に直し、$X$ の分布関数の値として計算します。第3に境界で隣どうしの式が同じ値になることを当てます。定数項は「その区間の左端までに溜まった確率」から決まるので、この一致の確認が定数項の検算そのものになります。

【確率を分布関数の値として読み替える】 $P(g(X)\le y)$ の形は、$g$ が単調増加なら $P(X\le g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y))$ と書けます。$g$ が単調減少なら不等号が向きを変えて $P(X\ge g^{-1}(y))=1-F_X(g^{-1}(y))$ になります。設問がしばしば聞くのは値そのものではなく「$F_X$ の引数に何を入れるか」で、そこだけを答えさせる形が実際に出ています。

【台の外まで書いて初めて分布関数】 区間ごとの式を並べただけでは定義域の一部しか埋まっていません。台の左端より小さいところで $0$、右端より大きいところで $1$ と書いて、はじめて $\mathbb{R}$ 全体で定義された分布関数になります。

$0\le y\le 1$ では $Y\le y$ と $X\le 10y$ が同値なので $F_Y(y)=\dfrac{10y}{20}=\dfrac{y}{2}$ です。

$1<y\le 3$ では $Y\le y$ と $X\le 5y+5$ が同値なので $F_Y(y)=\dfrac{5y+5}{20}=\dfrac{y+1}{4}$ になります。

境界 $y=1$ で両方とも $\dfrac{1}{2}$ になり、つながっていることが確かめられます。ここで定数項 $\dfrac{1}{4}$ を落として $\dfrac{y}{4}$ と書くと $y=1$ で $\dfrac{1}{4}$ になり、境界で $\dfrac{1}{4}$ だけ下にずれるので誤りだと分かります。微分すると密度は $(0,1)$ で $\dfrac{1}{2}$、$(1,3)$ で $\dfrac{1}{4}$ で、合計は $\dfrac{1}{2}\times 1+\dfrac{1}{4}\times 2=1$ です。