利力と利率・現価率の関係

利力δ・利率i・割引率d・現価率vの相互関係。連続複利δと1年複利iは$1+i=e^{\delta}$で結ばれ、$v=e^{-\delta}$、$d=1-v=iv$が基本恒等式となる。

$i$ と $d$ は「1年後に測るか、いま測るか」の違いにすぎず、 $\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{i}=1$ という簡潔な関係で結ばれる。

名称利率（名目利率）：年 $k$ 回に分けて利息を付けるとき、1回あたりの利率を $i^{(k)}/k$ と書き、$i^{(k)}$ を「転化回数 $k$ 回の名称利率」という。定義は $\left(1+\dfrac{i^{(k)}}{k}\right)^{k}=1+i=\left(1-\dfrac{d^{(k)}}{k}\right)^{-k}$ すなわち $i^{(k)}=k\left\{(1+i)^{1/k}-1\right\}$、$d^{(k)}=k\left\{1-v^{1/k}\right\}$ である。

大小関係は次のとおりで、$k$ が大きくなるほど $\delta$ に近づく。 $d<d^{(2)}<d^{(3)}<\cdots<\delta<\cdots<i^{(3)}<i^{(2)}<i$ 「割引側は $\delta$ より小さく、利息側は $\delta$ より大きい」と覚えるとよい。$k\to\infty$ でどちらも $\delta$ に収束する。

微分も頻出である。$v^{n}=(1+i)^{-n}=e^{-n\delta}$ なので $\dfrac{d}{di}v^{n}=-n\,v^{n+1},\qquad \dfrac{d}{d\delta}v^{n}=-n\,v^{n}$ となり、$i$ で微分すると指数が1つ上がり、$\delta$ で微分すると上がらない。この1個の差が正誤問題の枝になる。

割引側は必ず利力より小さく、利息側は必ず利力より大きい。$k$ を増やすとどちらも $\delta$ に収束する。$i=5\%$ なら $d=0.047619<d^{(2)}=0.048200<\delta=0.048790<i^{(2)}=0.049390<i=0.050000$。この階層をそのまま正誤の枝にするのが2020年度問題1（2）（$i$ と $\delta$ の大小）と2023年度問題2（1）（$i^{(k)}$ と $\delta$ の大小）である。

(1) 恒等式の確認。$iv=0.05\times0.952381=0.047619=d$、$e^{-\delta}=e^{-0.048790}=0.952381=v$、$\dfrac{1}{0.047619}-\dfrac{1}{0.05}=21.0-20.0=1$。いずれも一致する。

(2) 名称利率。$i^{(2)}=2\left(1.05^{1/2}-1\right)=0.049390$、$d^{(2)}=2\left(1-1.05^{-1/2}\right)=0.048200$、$i^{(12)}=0.048889$、$d^{(12)}=0.048691$。

並べると $0.047619<0.048200<0.048691<0.048790<0.048889<0.049390<0.050000$、すなわち $d<d^{(2)}<d^{(12)}<\delta<i^{(12)}<i^{(2)}<i$ となり、$k$ を増やすほど両側から $\delta$ に寄る。

(3) 名称利率は「年利」ではない。転化回数12回・年 $1.10\%$ の名称利率が与えられたとき、実際の年利は $\left(1+\dfrac{0.011}{12}\right)^{12}-1=0.011056=1.1056\%$ で、$1.10\%$ より大きい。この差 $0.0056$ ポイントが大小比較問題の勝負どころになる。