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確定年金の現価・終価（期始払・期末払）とは｜定義・公式とアクチュアリー試験の関連問題 | acpass
生保数理・公式・利息の計算・確定年金
ひとことで言うと 毎年1ずつを n n n 年間受け取る——それだけの話を、いまの価値でいくらか（現価）と、 n n n 年後にいくらになるか（終価）の2通りで測る。生命保険の年金現価 a ¨ x \ddot a_x a ¨ x から「生きている確率」を取り除くと、残るのがこの確定年金である。土台なので、生保数理の問題1（1）はほぼ毎年ここから出る。
期始払確定年金は0年度始から3年度始まで4回、期末払確定年金は1年度末から4年度末まで4回支払うことを2本の時間軸で比較し、終価は4年度末時点の価値であることを示した図。 0 1 2 3 4 1 2 3 4 期始払 ä₄ ＝ (1+i) a₄ 期末払 a₄ ＝ (1−v⁴)／i 同じ4回でも支払時点が1年ずれる ⇒ ä ＝ (1+i) a 終価 s₄ ＝ a₄(1+i)⁴ は同じ流列を4年度末で測ったもの
拡大 期始払と期末払は支払時点が1年ずれるだけで、現価は ( 1 + i ) (1+i) ( 1 + i ) 倍の関係にある。終価は同じ流列を満期時点で測り直したもの。
数式で表すと a n = 1 − v n i , a ¨ n = 1 − v n d , s n = ( 1 + i ) n − 1 i a_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{i},\quad \ddot a_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{d},\quad s_{\angl{n}}=\dfrac{(1+i)^n-1}{i} a n = i 1 − v n , a ¨ n = d 1 − v n , s n = i ( 1 + i ) n − 1 毎年1を n n n 年間受け取る確定年金の現価・終価は次のとおり。
a n = 1 − v n i a_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{i} a n = i 1 − v n
試験に出る性質 s 2n = c a n s_{\angl{2n}}=c\,a_{\angl{n}} s 2n = c a n
例で見る 設定： i = 5 % i=5\% i = 5% 、 n = 10 n=10 n = 10 （ v 10 = 0.613913 v^{10}=0.613913 v 10 = 0.613913 ）。
(1) 4つの基本量。 a 10 = 1 − 0.613913 0.05 = 7.721735 a_{\angl{10}}=\dfrac{1-0.613913}{0.05}=7.721735 a 10 = 0.05 1 − 0.613913 = 7.721735
つまずきポイント 表に与えられた s s s が期末払か期始払かを必ず確かめる。生保数理の過去問では期始払 s ¨ \ddot s s ¨ が「s」と印字されることがあり、さらに ( 1 + i ) (1+i) ( 1 + i ) を掛けると1年分ぶん過大になる。 s 2n = c a n s_{\angl{2n}}=c\,a_{\angl{n}} s 2n = c a n 定着クイズ Q1 s 2n = 6 a n s_{\angl{2n}}=6\,a_{\angl{n}} s 2n = 6 a n （ i > 0 i>0 i > 0 ）が成り立つとき、 ( 1 + i ) n (1+i)^{n} ( 1 + i ) n の値はどれか。
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
Q2 1 a n − 1 s n \dfrac{1}{a_{\angl{n}}}-\dfrac{1}{s_{\angl{n}}} a n 1 − s n 1 に等しいものはどれか。
A. i i i B. d d d C. δ \delta δ D. v v v Q3 利力 δ = 0.04 \delta=0.04 δ = 0.04 のもとで、ある T T T について a ˉ T = T − 3 \bar a_{\angl{T}}=T-3 a ˉ T = T − 3 が成り立つとする。このとき ∫ 0 T a ˉ t d t \displaystyle\int_{0}^{T}\bar a_{\angl{t}}\,dt ∫ 0 T a ˉ t d t の値はどれか。
A. 25 B. 50 C. 75 D. 100
一定額を一定期間受け取る確定年金の現価・終価。期末払 a n a_{\angl{n}} a n と期始払 a ¨ n = ( 1 + i ) a n \ddot a_{\angl{n}}=(1+i)a_{\angl{n}} a ¨ n = ( 1 + i ) a n 、終価 s n s_{\angl{n}} s n を利率iから計算する。
（期末払）、
a ¨ n = 1 − v n d = ( 1 + i ) a n \ddot a_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{d}=(1+i)\,a_{\angl{n}} a ¨ n = d 1 − v n = ( 1 + i ) a n （期始払）
s n = ( 1 + i ) n − 1 i = a n ( 1 + i ) n s_{\angl{n}}=\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}=a_{\angl{n}}(1+i)^{n} s n = i ( 1 + i ) n − 1 = a n ( 1 + i ) n 、
s ¨ n = ( 1 + i ) s n \ddot s_{\angl{n}}=(1+i)\,s_{\angl{n}} s ¨ n = ( 1 + i ) s n
連続払なら
a ˉ n = 1 − v n δ \bar a_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{\delta} a ˉ n = δ 1 − v n で、分母が
に変わるだけである。
よく使う恒等式は
1 a n − 1 s n = i , 1 a ¨ n − 1 s ¨ n = d \dfrac{1}{a_{\angl{n}}}-\dfrac{1}{s_{\angl{n}}}=i,\qquad \dfrac{1}{\ddot a_{\angl{n}}}-\dfrac{1}{\ddot s_{\angl{n}}}=d a n 1 − s n 1 = i , a ¨ n 1 − s ¨ n 1 = d
前者は「元利均等返済の年賦額＝利息＋減債基金の積立額」を意味しており、利回り指標の減債基金にそのままつながる。
① 予定利率の逆算 。 s 2n = c a n s_{\angl{2n}}=c\,a_{\angl{n}} s 2n = c a n の形で、 u = ( 1 + i ) n u=(1+i)^{n} u = ( 1 + i ) n と置くと
u 2 − 1 i = c ⋅ 1 − u − 1 i ⟹ u ( u 2 − 1 ) = c ( u − 1 ) ⟹ u 2 + u − c = 0 \dfrac{u^{2}-1}{i}=c\cdot\dfrac{1-u^{-1}}{i}\ \Longrightarrow\ u(u^{2}-1)=c(u-1)\ \Longrightarrow\ u^{2}+u-c=0 i u 2 − 1 = c ⋅ i 1 − u − 1 ⟹ u ( u 2 − 1 ) = c ( u − 1 ) ⟹ u 2 + u − c = 0
となり、 u = − 1 + 1 + 4 c 2 u=\dfrac{-1+\sqrt{1+4c}}{2} u = 2 − 1 + 1 + 4 c という2次方程式1本に帰着する。あとは別に与えられた a 2n a_{\angl{2n}} a 2n などから i i i を割り出すだけである。
② 積立（年金積立保険） 。「積立期間の終価＝年金開始時点の年金現価」を等式1本で立てる。 m m m 年積立て、その後 n n n 年の年金 r r r を受け取るなら P s ¨ m = r a ¨ n P\,\ddot s_{\angl{m}}=r\,\ddot a_{\angl{n}} P s ¨ m = r a ¨ n 。積立期間を m m m から 3 m 3m 3 m に変えると保険料の比は
s ¨ 3m s ¨ m = u 3 − 1 u − 1 = u 2 + u + 1 ( u = ( 1 + i ) m ) \dfrac{\ddot s_{\angl{3m}}}{\ddot s_{\angl{m}}}=\dfrac{u^{3}-1}{u-1}=u^{2}+u+1\qquad(u=(1+i)^{m}) s ¨ m s ¨ 3m = u − 1 u 3 − 1 = u 2 + u + 1 ( u = ( 1 + i ) m )
となり、年金期間 n n n にも年金の期始・期末の別にも依存しない。
③ 利率が途中で変わる積立 。変更時点までの元利合計をいったん確定させ、残り期間を新しい利率で積み直す。「積立終了時の元利合計は変えない」という条件から、毎回「残り必要額＝新しい積立額×残り年数の終価」を解く。
連続払の積分もこの単元から出る。
∫ 0 n a ˉ t d t = n − a ˉ n δ \displaystyle\int_{0}^{n}\bar a_{\angl{t}}\,dt=\dfrac{n-\bar a_{\angl{n}}}{\delta} ∫ 0 n a ˉ t d t = δ n − a ˉ n
これは a ˉ t = 1 − e − δ t δ \bar a_{\angl{t}}=\dfrac{1-e^{-\delta t}}{\delta} a ˉ t = δ 1 − e − δ t をそのまま積分すれば出る。期末払の ( D a ) n = n − a n i (Da)_{\angl{n}}=\dfrac{n-a_{\angl{n}}}{i} ( D a ) n = i n − a n の連続版にあたる。
の形は
u = ( 1 + i ) n u=(1+i)^{n} u = ( 1 + i ) n とおくと
u 2 + u − c = 0 u^{2}+u-c=0 u 2 + u − c = 0 に帰着する
解は u = − 1 + 1 + 4 c 2 u=\dfrac{-1+\sqrt{1+4c}}{2} u = 2 − 1 + 1 + 4 c 。2017年度問題1（1）は c = 3.75 c=3.75 c = 3.75 （ u = 1.5 u=1.5 u = 1.5 ）、2021年度問題1（1）は c = 12 c=12 c = 12 （ u = 3 u=3 u = 3 ）、2024年度問題1（3）は c = 3 c=3 c = 3 で、3年とも完全に同型である。 c c c は 1 + 4 c 1+4c 1 + 4 c が平方数になるよう選ばれることが多い。
a ¨ n = ( 1 + i ) a n \ddot a_{\angl{n}}=(1+i)a_{\angl{n}} a ¨ n = ( 1 + i ) a n 、 s n = a n ( 1 + i ) n s_{\angl{n}}=a_{\angl{n}}(1+i)^{n} s n = a n ( 1 + i ) n 、 1 a n − 1 s n = i \dfrac1{a_{\angl{n}}}-\dfrac1{s_{\angl{n}}}=i a n 1 − s n 1 = i
期始・期末の変換は ( 1 + i ) (1+i) ( 1 + i ) 倍、現価・終価の変換は ( 1 + i ) n (1+i)^n ( 1 + i ) n 倍。期始払版の恒等式は 1 a ¨ n − 1 s ¨ n = d \dfrac1{\ddot a_{\angl{n}}}-\dfrac1{\ddot s_{\angl{n}}}=d a ¨ n 1 − s ¨ n 1 = d
∫ 0 n a ˉ t d t = n − a ˉ n δ \displaystyle\int_{0}^{n}\bar a_{\angl{t}}\,dt=\dfrac{n-\bar a_{\angl{n}}}{\delta} ∫ 0 n a ˉ t d t = δ n − a ˉ n
a ˉ t = 1 − e − δ t δ \bar a_{\angl{t}}=\dfrac{1-e^{-\delta t}}{\delta} a ˉ t = δ 1 − e − δ t
年金積立保険は「積立期間の終価＝年金開始時点の年金現価」の等式1本で立つ
P s ¨ m = r a ¨ n P\,\ddot s_{\angl{m}}=r\,\ddot a_{\angl{n}} P s ¨ m = r a ¨ n 。積立期間を m m m から 3 m 3m 3 m 、年金額を r r r から 3 4 r \frac34 r 4 3 r に変えたときの保険料の比は P 1 P 2 = 4 3 ⋅ s ¨ 3m s ¨ m = 4 3 ( u 2 + u + 1 ) \dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac43\cdot\dfrac{\ddot s_{\angl{3m}}}{\ddot s_{\angl{m}}}=\dfrac43\left(u^{2}+u+1\right) P 2 P 1 = 3 4 ⋅ s ¨ m s ¨ 3m = 3 4 ( u 2 + u + 1 ) （ u = ( 1 + i ) m u=(1+i)^{m} u = ( 1 + i ) m ）で、年金期間 n n n にも期始払・期末払の別にも依存しない。2016年度問題1（1）はこの形。
利率が途中で変わる積立は、変更時点で元利合計をいったん確定させて積み直す
「積立終了時の元利合計は変えない」という条件から、各段で「残り必要額＝新しい積立額×残り年数の終価」を解く。2023年度問題1（1）は5%→3%→1%の2回の見直しを行う3段構成で、与えられた表の値は期始払 s ¨ \ddot s s ¨ である（ s ¨ 30 \ddot s_{\angl{30}} s ¨ 30 が 69.7608 なのに対し期末払の s 30 s_{\angl{30}} s 30 は 66.4388）。
、
a ¨ 10 = 1.05 × 7.721735 = 8.107822 \ddot a_{\angl{10}}=1.05\times7.721735=8.107822 a ¨ 10 = 1.05 × 7.721735 = 8.107822 、
s 10 = 7.721735 × 1.05 10 = 12.577893 s_{\angl{10}}=7.721735\times1.05^{10}=12.577893 s 10 = 7.721735 × 1.0 5 10 = 12.577893 、
s ¨ 10 = 13.206788 \ddot s_{\angl{10}}=13.206788 s ¨ 10 = 13.206788 。
(2) 恒等式の確認。 1 7.721735 − 1 12.577893 = 0.129504 − 0.079504 = 0.050000 = i \dfrac{1}{7.721735}-\dfrac{1}{12.577893}=0.129504-0.079504=0.050000=i 7.721735 1 − 12.577893 1 = 0.129504 − 0.079504 = 0.050000 = i 。
(3) 予定利率の逆算。 s 2n = 6 a n s_{\angl{2n}}=6\,a_{\angl{n}} s 2n = 6 a n が成り立つとすると、 u = ( 1 + i ) n u=(1+i)^{n} u = ( 1 + i ) n について u 2 + u − 6 = 0 u^{2}+u-6=0 u 2 + u − 6 = 0 、すなわち u = − 1 + 25 2 = 2 u=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2 u = 2 − 1 + 25 = 2 となり ( 1 + i ) n = 2 (1+i)^{n}=2 ( 1 + i ) n = 2 。さらに a 2n = 1 − u − 2 i = 0.75 i a_{\angl{2n}}=\dfrac{1-u^{-2}}{i}=\dfrac{0.75}{i} a 2n = i 1 − u − 2 = i 0.75 が与えられれば i i i が決まる（たとえば a 2n = 75 a_{\angl{2n}}=75 a 2n = 75 なら i = 1.00 % i=1.00\% i = 1.00% ）。
(4) 連続払の積分。 δ = 0.04 \delta=0.04 δ = 0.04 で、ある T T T について a ˉ T = T − 3 \bar a_{\angl{T}}=T-3 a ˉ T = T − 3 が成り立つとき ∫ 0 T a ˉ t d t = T − a ˉ T δ = 3 0.04 = 75 \int_{0}^{T}\bar a_{\angl{t}}\,dt=\dfrac{T-\bar a_{\angl{T}}}{\delta}=\dfrac{3}{0.04}=75 ∫ 0 T a ˉ t d t = δ T − a ˉ T = 0.04 3 = 75 。 T T T を求める必要はない（数値解は T = 13.3346 T=13.3346 T = 13.3346 で、実際に数値積分しても 75.000000 75.000000 75.000000 になる）。
の型で、期間が
と
で違うことを見落とさない。同じ
だと思うと
u 2 + u − c = 0 u^{2}+u-c=0 u 2 + u − c = 0 ではなく別の式になる。
a ¨ n − a n = 1 − v n \ddot a_{\angl{n}}-a_{\angl{n}}=1-v^{n} a ¨ n − a n = 1 − v n であって 1 1 1 ではない（ 1 1 1 になるのは永久年金のとき）。
積立の見直し問題は「計算過程の元利合計・積立額を整数に丸める」といった指示が付くことがある。丸めのタイミングを変えると答えが選択肢1つ分ずれる。 で、
が
に変わる。この恒等式は減債基金（SEI006）の実質借入利率の計算にそのまま使う。
を積分するだけ。2022年度問題1（1）は
、
a ˉ T = T − 2 \bar a_{\angl{T}}=T-2 a ˉ T = T − 2 という条件から
∫ 0 T a ˉ t d t \int_0^T\bar a_{\angl{t}}dt ∫ 0 T a ˉ t d t を問うが、この式に代入すると
T − ( T − 2 ) δ = 2 δ = 40 \dfrac{T-(T-2)}{\delta}=\dfrac{2}{\delta}=40 δ T − ( T − 2 ) = δ 2 = 40 となり、
の値を求めずに答えが出る。