逓増・逓減確定年金

生保数理・公式・利息の計算・確定年金

ひとことで言うと

毎年同じ額をもらう確定年金の「毎年」を、1年目1・2年目2・3年目3…と階段状に増やしたものが逓増確定年金、逆に $n$ から1へ減らしたものが逓減確定年金。増える分・減る分をいちいち足し上げなくても、 $a_{\angl{n}}$ ひとつから閉じた式で書ける。

逓増と逓減は同じ時点の支払額を足すとどこも n+1 になる。この対称性がそのまま (Ia)+(Da)=(n+1)a という恒等式になる。

数式で表すと

(Ia)_{\angl{n}}=\dfrac{\ddot a_{\angl{n}}-nv^{n}}{i},\quad (Da)_{\angl{n}}=\dfrac{n-a_{\angl{n}}}{i}

毎年の支払額が $1,2,3,\dots,n$ と1ずつ増えていく確定年金を逓増確定年金、 $n,n-1,\dots,1$ と1ずつ減っていく確定年金を逓減確定年金という。期末払の現価はそれぞれ $(Ia)_{\angl{n}}=\dfrac{\ddot a_{\angl{n}}-nv^{n}}{i},\qquad (Da)_{\angl{n}}=\dfrac{n-a_{\angl{n}}}{i}$

試験に出る性質

$(Ia)_{\angl{n}}=\dfrac{\ddot a_{\angl{n}}-nv^{n}}{i}$

例で見る

設定： $i=5\%$ 、 $n=5$ 。 $v^{5}=0.783526$ 、 $a_{\angl{5}}=4.329477$

つまずきポイント

$(Ia)_{\angl{n}}$ の分子は期始払の $\ddot a_{\angl{n}}$

定着クイズ

$i=5\%$ 、 $n=5$ （ $v^{5}=0.783526$ 、 $a_{\angl{5}}=4.329477$ 、 $\ddot a_{\angl{5}}=4.545951$ ）のとき、 $(Ia)_{\angl{5}}$ の値に最も近いものはどれか。

$(Ia)_{\angl{n}}+(Da)_{\angl{n}}$ に等しいものはどれか。

$\ddot a_{\angl{n}}\,(I\ddot a)_{\overline{\infty|}}-\ddot a_{\overline{\infty|}}\,(I\ddot a)_{\angl{n}}$ に等しいものはどれか。

この用語を扱う問題（1）

逓増・逓減確定年金生保数理・★★

←確定年金の現価・終価（期始払・期末払）永久年金・逓増永久年金→