永久年金・逓増永久年金

受取が無限に続く永久年金の現価。定額の永久年金は$1/i$、毎期1ずつ増える逓増永久年金は$1/(id)$。積立・年金原資の評価に用いる。

毎期1ずつ増える逓増永久年金（原文では「永久累加年金」とも呼ばれる）も同じ操作で出る。$(Ia)_{\angl{n}}=\dfrac{\ddot a_{\angl{n}}-nv^{n}}{i}$ で $nv^{n}\to0$、$\ddot a_{\angl{n}}\to\dfrac1d$ とすると $(Ia)_{\overline{\infty|}}=\dfrac{1}{id}=\dfrac{1}{i}+\dfrac{1}{i^{2}},\qquad (I\ddot a)_{\overline{\infty|}}=\dfrac{1}{d^{2}}$ となる。$\dfrac1{id}=\dfrac1i+\dfrac1{i^{2}}$ は $\dfrac1d=\dfrac1i+1$（SEI001）から出る。2つの表現を両方持っておくと検算になる——片方で計算してもう片方で確かめられる。

逆向きに使うのが本番の定番である。$\ddot a_{\overline{\infty|}}$ の値だけを与えて $i$ を割り出させ、そこから $(Ia)_{\overline{\infty|}}$ を求めさせる。手順は $d=\dfrac{1}{\ddot a_{\overline{\infty|}}}\ \Longrightarrow\ v=1-d\ \Longrightarrow\ i=\dfrac{d}{v}$ の3段で、$i=\dfrac{1}{\ddot a_{\overline{\infty|}}}$ と1段で済ませてはいけない。

定率で増える永久年金は別物である。支払が $1,(1+g),(1+g)^{2},\dots$ と等比数列で増える場合、等比級数の和として $\text{期末払}=\dfrac{1}{i-g},\qquad \text{期始払}=\dfrac{1+i}{i-g}\qquad(g<i)$ となる。$g\ge i$ だと割引よりも増加が速く、現価は発散する。

この2種類（定額で $h$ ずつ増える／定率 $g$ で増える）が同じ現価になる条件を問う出題がある。定額増加の期始払現価は $\ddot a_{\overline{\infty|}}+h\,(Ia)_{\overline{\infty|}}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{h}{id}$ なので、これを $\dfrac{1+i}{i-g}$ と等しいと置いて $d(1+i)=i$ を使うと、$g=\dfrac{i}{k}$ のとき $1+\dfrac{h}{i}=\dfrac{k}{k-1}\ \Longrightarrow\ h=\dfrac{i}{k-1}$ という簡潔な形に落ちる。$k=4$（毎年 $i/4$ ずつ定率増加）なら $h=\dfrac{i}{3}$ である。

確定年金の式で $v^{n}\to0$ とするだけ。$d<\delta<i$ なので大きさは $a_{\overline{\infty|}}<\bar a_{\overline{\infty|}}<\ddot a_{\overline{\infty|}}$ の順になる。2025年度問題1（1）は $\ddot a_{\overline{\infty|}}=51$ という与件から $d=1/51$・$i=2.00\%$ を割り出させる形で出た。

(2) 逓増永久年金。$(Ia)_{\overline{\infty|}}=\dfrac{1}{0.05}+\dfrac{1}{0.05^{2}}=20+400=420$。もう一方の表現でも $\dfrac{1}{0.05\times0.047619}=420$ で一致する。$(I\ddot a)_{\overline{\infty|}}=\dfrac{1}{0.047619^{2}}=441$。

(3) 定率増加。毎年 $g=2\%$ ずつ増える永久年金は、期末払 $\dfrac{1}{0.05-0.02}=33.33$、期始払 $\dfrac{1.05}{0.03}=35.0$。

(4) 与件から $i$ を逆算する。$\ddot a_{\overline{\infty|}}=26$ と与えられたら、$d=\dfrac{1}{26}=0.038462$、$v=1-d=0.961538$、$i=\dfrac{d}{v}=0.04$。したがって $(Ia)_{\overline{\infty|}}=25+625=650$ となる。ここで $i=\dfrac{1}{26}=3.85\%$ と早合点すると 702 となり、答えがまるごとずれる。