年k回払年金と近似式

生保数理・公式・利息の計算・確定年金

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ひとことで言うと

年金は年1回とは限らない。半年ごと・毎月に割って払うと、同じ年額でも受け取る時期がずれる。確定年金なら分母の利率を $i$ から $i^{(k)}$ に取り替えるだけで正確に計算できるが、生命年金では生存確率が絡むため近似式に頼る。試験ではその近似式が問題文に書いてあるので、覚えることより「どこに何を代入するか」を間違えないことが得点になる。

年額を $k$ 回に割ると、期末払は支払が前倒しになり現価が大きく、期始払は後ろ倒しになり現価が小さくなる。

数式で表すと

\ddot a^{(k)}_{\angl{n}}\approx\ddot a_{\angl{n}}-\dfrac{k-1}{2k}(1-v^{n}),\quad a^{(k)}_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{i^{(k)}}

年額1を年 $k$ 回に分けて（1回あたり $1/k$ ずつ） $n$ 年間支払う確定年金の現価は、近似ではなく正確に次で表せる。 $a^{(k)}_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{i^{(k)}},\qquad \ddot a^{(k)}_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{d^{(k)}}$

試験に出る性質

$a^{(k)}_{\angl{n}}=\dfrac{1-v^{n}}{i^{(k)}}$

例で見る

設定： $i=5\%$ 、 $n=10$ 。 $v^{10}=0.613913$ 、 $1-v^{10}=0.386087$

つまずきポイント

近似の補正項は期始払で引く・期末払で足す。符号を逆にすると補正項2つ分（ $i=5\%$ ・ $n=10$ ・ $k=2$ の例では 0.19）ずれる。
$\ddot a^{(k)}_{\angl{n}}-a^{(k)}_{\angl{n}}=\dfrac1k(1-v^{n})$

定着クイズ

$i=5\%$ 、 $n=10$ （ $v^{10}=0.613913$ 、 $i^{(2)}=0.049390$ ）のとき、年2回払の期末払確定年金 $a^{(2)}_{\angl{10}}$ の値に最も近いものはどれか。

年額を同じにしたまま年 $k$ 回払（ $k\ge2$ ）にしたとき、期始払の確定年金現価 $\ddot a^{(k)}_{\angl{n}}$ は年1回払 $\ddot a_{\angl{n}}$ と比べてどうなるか。

$k\to\infty$ としたときの $a^{(k)}_{\angl{n}}$ の極限はどれか。

この用語を扱う問題（1）

年k回払年金と近似式生保数理・★★

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