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利回り指標（実利率・ハーディの公式・減債基金）とは｜定義・公式とアクチュアリー試験の関連問題 | acpass
利回り指標（実利率・ハーディの公式・減債基金） 知識マップ 生保数理・公式・利息の計算・確定年金
ひとことで言うと 「この運用は結局、年何%だったのか」を測る道具箱。年度中に出入りがある資産の利回りを近似するハーディの公式、名称利率を実利率に直す換算、元金を返さず別に積み立てる減債基金——見た目はばらばらだが、どれも「 i i i を1つの数字に落とす」ための道具である。試験はこれらを1つの問題に並べて大小を比べさせる。
3つの利回り指標を3つの枠で整理した図。名称利率から実利率への換算、ハーディの公式、減債基金方式の借入金利率をそれぞれ式とともに示している。 ① 名称利率 → 実利率（転化回数 k 回・年 r） i ＝ (1 + r／k)ᵏ − 1 （つねに i ＞ r） ② ハーディの公式（A＝期首資産、B＝期末資産、I＝利息配当金収入） i ≒ 2I ／ (A ＋ B − I) ③ 減債基金（借入金利率 j、積立利率で sₙ、実質借入利率 i*） j ＋ 1／sₙ ＝ 1／aₙ(i*) 1／aₙ ＝ 1／sₙ ＋ i（積立利率＝実質利率なら j も同じ値） 3つとも「年何%か」を1つの数字に落とすための道具
拡大 利回り指標の3点セット。名称利率の換算・ハーディの公式・減債基金は、いずれも運用や借入を年利1つに要約する道具である。
数式で表すと i ≈ 2 I A + B − I ( ハーディ ) , 減債基金 = 1 s n i\approx\dfrac{2I}{A+B-I}\ (\text{ハーディ}),\quad \text{減債基金}=\dfrac{1}{s_{\angl{n}}} i ≈ A + B − I 2 I ( ハーディ ) , 減債基金 = s n 1 ① 名称利率（名目利率）と実利率
「転化回数 k k k 回、年利率 r r r 」と言われたら、1回あたり r / k r/k r / k の利息が k k k 回付くという意味である。実際の年利（実利率）は
i = ( 1 + r k ) k − 1 i=\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{k}-1 i = ( 1 + k r ) k − 1
試験に出る性質 ハーディの公式は i ≈ 2 I A + B − I i\approx\dfrac{2I}{A+B-I} i ≈ A + B − I 2 I
A A A は期首総資産、 B B B
例で見る (1) ハーディの公式。期首総資産 50,000 億円、期末総資産 58,000 億円、利息および配当金収入 800 億円のとき i ≈ 2 × 800 50,000 + 58,000 − 800 = 1,600 107,200 = 0.014925 = 1.4925 % i\approx\dfrac{2\times800}{50{,}000+58{,}000-800}=\dfrac{1{,}600}{107{,}200}=0.014925=1.4925\% i ≈ 50 , 000 + 58 , 000 − 800 2 × 800 = 107 , 200 1 , 600 = 0.014925 = 1.4925%
つまずきポイント ハーディの公式の分母は A + B − I A+B-I A + B − I 。 − I -I − I を落とす、あるいは分子の 2 2 2 を落とす誤りが多い（後者は答えがちょうど半分になる）。 「転化回数 k k k 回、年 r r r 定着クイズ Q1 期首総資産50,000億円、期末総資産58,000億円、利息および配当金収入800億円のとき、ハーディの公式による総資産利回りに最も近いものはどれか。
A. 0.75% B. 1.38% C. 1.49% D. 1.60%
Q2 転化回数12回、年1.20%の名称利率における実利率に最も近いものはどれか。
A. 1.1934% B. 1.2000% C. 1.2066% D. 1.2400%
Q3 借入金を10年間、減債基金を積み立てて返済する。減債基金の積立利率は2.00%（ s 10 = 10.9497 s_{\angl{10}}=10.9497 s 10 = 10.9497 ）、実質的な借入金利率は0.50%（ a 10 = 9.7304 a_{\angl{10}}=9.7304 a 10 = 9.7304 ）であり、借入金利息の返済と減債基金の積立は年1回その期末に行う。このとき借入金利率に最も近いものはどれか。
A. 0.50% B. 1.14% C. 1.50% D. 2.00%
運用利回りの近似（ハーディの公式）や、目標額を積み立てる減債基金の年賦額など、確定利息計算に付随する各種指標。実利率は期首・期末残高と収益から近似する。
で、
なら必ず
になる。利力・名称利率の階層（SEI001）を逆向きに使っているだけである。
② ハーディの公式
期首総資産 A A A 、期末総資産 B B B 、期中の利息および配当金収入 I I I のとき、総資産利回りの近似は
i ≈ 2 I A + B − I i\approx\dfrac{2I}{A+B-I} i ≈ A + B − I 2 I
である。分母は「期中の平均運用資産の2倍」を表しており、 I I I を引くのは利息収入が期中に平均的に発生したとみなすためである（期末資産 B B B には I I I がすでに含まれているので、その半分だけが運用に寄与したと考えると平均運用資産は A + B − I 2 \dfrac{A+B-I}{2} 2 A + B − I になる）。分母の − I -I − I を落とすと利回りを小さめに見積もる。
③ 減債基金
元金 L L L を借り、元金は返さず利息 j L jL j L だけを毎期末に払い、同時に元金返済用の資金を別に積み立てる方式を減債基金という。積立利率を g g g とすると毎期末の積立額は L s n ( g ) \dfrac{L}{s_{\angl{n}}(g)} s n ( g ) L なので、年間の総支出は
j L + L s n ( g ) jL+\dfrac{L}{s_{\angl{n}}(g)} j L + s n ( g ) L
である。一方、同じ L L L を実質借入利率 i ∗ i^{*} i ∗ で元利均等返済したときの年賦額は L a n ( i ∗ ) \dfrac{L}{a_{\angl{n}}(i^{*})} a n ( i ∗ ) L なので、両者を等しいと置いて
1 a n ( i ∗ ) = j + 1 s n ( g ) \dfrac{1}{a_{\angl{n}}(i^{*})}=j+\dfrac{1}{s_{\angl{n}}(g)} a n ( i ∗ ) 1 = j + s n ( g ) 1
が成り立つ。ここから、 i ∗ i^{*} i ∗ と g g g が与えられれば借入金利率 j j j が求まる。
確定年金の恒等式 1 a n = 1 s n + i \dfrac{1}{a_{\angl{n}}}=\dfrac{1}{s_{\angl{n}}}+i a n 1 = s n 1 + i （SEI002）と見比べると、積立利率 g g g と実質借入利率 i ∗ i^{*} i ∗ が一致するときに限り j = i ∗ j=i^{*} j = i ∗ になることが分かる。ふつうは積立利率のほうが高いので j > i ∗ j>i^{*} j > i ∗ 、つまり表面の借入金利率より実質の負担は軽い。
試験での問われ方は「複数の指標を並べて大小を比べる」形式である。指標の種類が違っても値はごく近い帯に収まるよう作られるので、各指標を有効数字4桁まで詰める必要がある。
は期末総資産、
は利息および配当金収入。分母から
を引くのは、利息収入が期中に平均的に発生したとみなして平均運用資産を
A + B − I 2 \dfrac{A+B-I}{2} 2 A + B − I とするため。分母の
を落とすと利回りを小さめに見積もる。2019年度問題1（1）はこの公式で総資産利回りを求める枝を含む。
転化回数 k k k 回・年利率 r r r の名称利率の実利率は ( 1 + r / k ) k − 1 (1+r/k)^{k}-1 ( 1 + r / k ) k − 1 で、必ず r r r より大きい
k ≥ 2 k\ge2 k ≥ 2 なら複利効果の分だけ上振れる。転化12回・年 1.10% なら実利率は 1.1056%。「年 1.10% の名称利率」を年利 1.10% と読むと大小比較で必ず順位を落とす。2019年度問題1（1）はこの換算を最初の枝に置いている。
減債基金方式の実質借入利率は 1 a n ( i ∗ ) = j + 1 s n ( g ) \dfrac{1}{a_{\angl{n}}(i^{*})}=j+\dfrac{1}{s_{\angl{n}}(g)} a n ( i ∗ ) 1 = j + s n ( g ) 1 を満たす
j j j が借入金利率、 g g g が減債基金の積立利率。左辺は元利均等返済の年賦額、右辺は「利息＋積立額」で、どちらも同じ年間支出を表す。 n = 10 n=10 n = 10 ・ g = 2.00 % g=2.00\% g = 2.00% （ s 10 = 10.9497 s_{\angl{10}}=10.9497 s 10 = 10.9497
1 a n = 1 s n + i \dfrac{1}{a_{\angl{n}}}=\dfrac{1}{s_{\angl{n}}}+i a n 1 = s n 1 + i なので、積立利率と実質借入利率が一致するときだけ j j j もその値に等しい
確定年金（SEI002）の恒等式そのもの。積立利率が実質借入利率より高ければ j > i ∗ j>i^{*} j > i ∗ となり、表面の借入金利率より実質の負担は軽くなる。この非対称が減債基金の問題の急所で、 j j j と i ∗ i^{*} i ∗ を取り違えると答えが逆向きにずれる。
。
よくある誤りと比べると、分母の − I -I − I を落とすと 1,600 108,000 = 1.4815 % \dfrac{1{,}600}{108{,}000}=1.4815\% 108 , 000 1 , 600 = 1.4815% （わずかに小さい）、分子の 2 2 2 を落とすと 800 107,200 = 0.7463 % \dfrac{800}{107{,}200}=0.7463\% 107 , 200 800 = 0.7463% （ちょうど半分）、 I / A I/A I / A で済ませると 800 50,000 = 1.6000 % \dfrac{800}{50{,}000}=1.6000\% 50 , 000 800 = 1.6000% （大きすぎる）。
(2) 名称利率の換算。転化回数12回・年 1.20 % 1.20\% 1.20% の名称利率の実利率は ( 1 + 0.012 12 ) 12 − 1 = 1.001 12 − 1 = 0.0120662 = 1.2066 % \left(1+\dfrac{0.012}{12}\right)^{12}-1=1.001^{12}-1=0.0120662=1.2066\% ( 1 + 12 0.012 ) 12 − 1 = 1.00 1 12 − 1 = 0.0120662 = 1.2066% で、 1.20 % 1.20\% 1.20% より 0.0066 0.0066 0.0066 ポイント大きい。
(3) 減債基金。 10 10 10 年、積立利率 2.00 % 2.00\% 2.00% （ s 10 = 10.9497 s_{\angl{10}}=10.9497 s 10 = 10.9497 ）、実質借入利率 0.50 % 0.50\% 0.50% （ a 10 = 9.7304 a_{\angl{10}}=9.7304 a 10 = 9.7304 ）のとき j = 1 9.7304 − 1 10.9497 = 0.102771 − 0.091327 = 0.011444 = 1.1444 % j=\dfrac{1}{9.7304}-\dfrac{1}{10.9497}=0.102771-0.091327=0.011444=1.1444\% j = 9.7304 1 − 10.9497 1 = 0.102771 − 0.091327 = 0.011444 = 1.1444% 。
積立利率 2.00 % 2.00\% 2.00% が実質借入利率 0.50 % 0.50\% 0.50% より高いので、借入金利率 1.1444 % 1.1444\% 1.1444% は実質借入利率 0.50 % 0.50\% 0.50% を上回る。利息だけ払って元金を寝かせているぶん、表面の利率が高くても実質負担は軽くなっている、と読む。
(4) 3つを並べると 1.4925 % 1.4925\% 1.4925% 、 1.2066 % 1.2066\% 1.2066% 、 1.1444 % 1.1444\% 1.1444% 。種類の違う指標が同じ桁に並ぶため、大小比較の問題では有効数字4桁まで詰めないと順位が決まらない。
」の
は年利ではない。実利率
( 1 + r / k ) k − 1 (1+r/k)^{k}-1 ( 1 + r / k ) k − 1 に直してから比較する。
減債基金では a n a_{\angl{n}} a n に使う利率（実質借入利率）と s n s_{\angl{n}} s n に使う利率（積立利率）が別。同じ利率で計算すると恒等式により差が消えて j j j が求まらなくなる。
大小比較の問題は、指標の種類が違っても値が同じ帯に収まるように作られている。概算で切り上げず、有効数字4桁まで詰める。 ）・
i ∗ = 0.50 % i^{*}=0.50\% i ∗ = 0.50% （
a 10 = 9.7304 a_{\angl{10}}=9.7304 a 10 = 9.7304 ）なら
j = 1 9.7304 − 1 10.9497 = 1.1444 % j=\dfrac1{9.7304}-\dfrac1{10.9497}=1.1444\% j = 9.7304 1 − 10.9497 1 = 1.1444% 。2019年度問題1（1）はこの
を求める枝を含む。