利率・現価・利力

予定利率 $i$・現価率 $v$・利力 $\delta$ の相互関係。年金数理のすべての現価計算は $v=1/(1+i)$ と $\delta=\log(1+i)$ の上に載る。連続モデルでは利力を直接使う。

3つは同じ利回りを別の角度から見たもの

(1) $i$ ＝1年で付く利息を期初の元本で割った率 (2) $d$ ＝1年で付く利息を期末の元本で割った率（割引率） (3) $\delta$ ＝瞬間の増え方（利力）。連続モデルはここを使う

大小関係は必ず $d<\delta<i$

$i>0$ であれば例外なくこの順になる。分母が大きいほど率は小さくなるので $d<i$ は当然で、$\delta$ はその中間に必ず入る。本試験は「利力は予定利率より小さい」という向きだけを問うことがある。

年金数理では「割引の入れ物」として使う

現価計算はすべて $v^t$ か $e^{-\delta t}$ の形で入ってくる。基数 $D_x=v^x l_x$ も、確定年金 $\ddot a_{\angl{n}}=(1-v^n)/d$ も、入口はここ1つである。

予定利率が期間で変わるとき

$t$ 年後の現価率は各年の $v$ の積 $\prod_{k=1}^{t}v_k$ で持つ。平均の利率を先に作って $v^t$ とはしない。凸性のぶんだけ必ずずれる。

$d=1-0.980392=0.019608$（$iv=0.02\times0.980392=0.019608$ と一致する）

$\delta=\log 1.02=0.019803$

$\Rightarrow 0.019608<0.019803<0.020000$ で $d<\delta<i$ が成り立っている。

(2) 3年後の 1,000,000 円の現価

$v^{3}=0.942322$ なので現価は $942{,}322$ 円。

利力で計算しても $e^{-3\delta}=e^{-0.059408}=0.942322$ で同じ値になる。

(3) 利力を予定利率で代用すると

$e^{-3\times0.02}=e^{-0.06}=0.941765$ ⇒ $941{,}765$ 円。

3年でも 557 円ずれる。$\delta\approx i$ の近似は答えの桁を選ぶ問題では使えない。