生命関数と脱退残存表

年金制度の被保険者が死亡・退職などで減っていく様子を表す残存表。生存数 $l_x$、脱退数 $d_x$、脱退率 $q_x$ で構成し、年金数理では「脱退残存表」と呼ぶ。

$q_x=\dfrac{d_x}{l_x}$ ＝脱退率、$p_x=1-q_x$ ＝残存率、${}_tp_x=\dfrac{l_{x+t}}{l_x}$

生保数理の生命表との違い

生保数理の $l_x$ は死亡だけで減るが、年金数理の $l_x$ は死亡・退職・障害などすべての脱退で減る。だから「生命表」ではなく「脱退残存表」と呼ぶ。脱退の原因を分けて扱うときは多重脱退残存表（`NEN017`）になる。

$l_x$ の絶対値には意味がない

年金数理に出てくる量は $l$ の比しか使わない。基数 $D_x=v^xl_x$ も年金現価 $N_x/D_x$ も、$l$ を定数倍すると分子と分母で打ち消し合う。$l_{x_e}$ を 1 と置いても 100,000 と置いても答えは同じである。

脱退数が一定でも脱退率は一定でない

$d_x$ が毎年おなじでも分母の $l_x$ は減っていくので、$q_x$ は必ず上がる。表を読むときに「人数」と「率」を混ぜないこと。逆に $q_x$ が一定なら $l_x$ は等比数列になる。

残存確率も基数の比も $l$ のスケールで割ると消える。$l_{x_e}$ を 1 と置く流儀と 100,000 と置く流儀が本試験に混在するが、答えは同じになる。総人数そのものを聞かれたときだけスケールが要る。

(1) 脱退者数と脱退率

$d_{57}=d_{58}=d_{59}=100$（毎年おなじ100人）

$q_{57}=\dfrac{100}{1{,}000}=0.1000,\quad q_{58}=\dfrac{100}{900}=0.1111,\quad q_{59}=\dfrac{100}{800}=0.1250$

人数は一定でも率は上がる。

(2) 残存確率

${}_2p_{57}=\dfrac{l_{59}}{l_{57}}=\dfrac{800}{1{,}000}=0.8,\quad {}_3p_{57}=\dfrac{700}{1{,}000}=0.7$

(3) 乗法性の検算

${}_1p_{57}\times{}_2p_{58}=0.9\times\dfrac{700}{900}=0.9\times0.7778=0.7$ で ${}_3p_{57}$ と一致する。

(4) スケールを変えても答えは同じ

$l$ を10倍して $l_{57}=10{,}000$ としても ${}_3p_{57}=7{,}000/10{,}000=0.7$ で変わらない。