平均余命（完全・略算）

年齢 $x$ の被保険者の余命の期待値。完全平均余命 $\mathring e_x$ は連続、略算平均余命 $e_x$ は離散で、両者はおよそ $1/2$ だけ異なる。終身年金現価との大小比較で頻出。

$\mathring e_x=\displaystyle\int_0^{\infty}{}_tp_x\,dt$ … 完全平均余命（連続で数える）

1年内の脱退が一様（UDD）なら $\mathring e_x=e_x+\dfrac12$ が成り立つ。半年ぶんの端数を拾うか捨てるかの違いである。

漸化式で1歳ずつ動かせる

$e_x=p_x\,(1+e_{x+1})$

1年生き延びる確率 $p_x$ を掛け、その先の余命に「いま数えた1年」を足す形になっている。表から直接足し上げた値との突き合わせに使える。

終身年金現価とは別の量

$\ddot a_x=\sum_{t\ge0}v^t{}_tp_x$ に対し $1+e_x=\sum_{t\ge0}{}_tp_x$ である。$v^t\le1$ なので

$\ddot a_x\le 1+e_x$

で、等号は $i=0$ のときだけ。「終身年金現価は平均余命とほぼ同じ」という読み替えはできない。

在職年数の期待値と記号が衝突する

年金数理では在職年数の期待値（`NEN015`）にも $e_x$ の記号が使われることがある。あちらは定年で打ち切るので上端が有限で、まったく別の量である。記号ではなく問題文の定義式で判断する。

(1) 略算平均余命

$e_{60}=\dfrac{900+700+400}{1{,}000}=2.0$

(2) 完全平均余命

UDD を仮定して $\mathring e_{60}\approx 2.0+0.5=2.5$

(3) 漸化式で検算

$p_{60}=0.9$、$e_{61}=\dfrac{700+400}{900}=1.2222$

$p_{60}(1+e_{61})=0.9\times2.2222=2.0$ ⇒ (1) と一致する。

(4) 終身年金現価との大小

予定利率2.0パーセントのとき $\ddot a_{60}=2.93210$（`NEN006` で計算する）。

$1+e_{60}=3.0$ なので $\ddot a_{60}<1+e_{60}$ が確かに成り立っている。割引のぶんだけ年金現価が小さい。