基数（D・N・C・M）

生存数と現価率を組み合わせた計算補助量。$D_x=v^{x}l_x$ を出発点に $N,C,M$ を定義し、年金現価・給付現価をすべて基数の比で書けるようにする。

$C_x=v^{x+1}d_x$ … $x$ 歳から $x+1$ 歳の間に脱退する人へ、期末に1を払う現価

$M_x=\displaystyle\sum_{t\ge0}C_{x+t}$ … $C$ の累計

使い方は「比を取る」だけ

期始払終身年金 $\ddot a_x=\dfrac{N_x}{D_x}$

$n$ 年有期の期始払 $\ddot a_{x:\angl{n}}=\dfrac{N_x-N_{x+n}}{D_x}$

$n$ 年内の脱退に一時金1 $=\dfrac{M_x-M_{x+n}}{D_x}$

分母はつねに「いま何歳か」の $D$ である。ここを $D_{x+n}$ にすると、割り引く起点がずれる。

\textbf{$v^{x}$ の $x$ は何でもよい}

$D_x$ の $v^{x}$ は基準時点をそろえるための係数で、比を取ると消える。基準年齢を0歳に取っても加入年齢に取っても答えは変わらない。基準を変えて答えが変わったら、比の取り方を間違えている。

$C_x$ の指数が $x+1$ である理由

脱退した人への支払いを期末に置いているからである。期初払や即時払の制度を扱うときは $C$ の定義そのものを置き換える必要がある。

基数の $v^{x}$ は比を取ると消えるので、\textbf{57歳を基準にして $D_{57}=1$ と置く}。

(1) $D$ の比

$\dfrac{D_{58}}{D_{57}}=v\times0.9=0.882353,\quad \dfrac{D_{59}}{D_{57}}=v^2\times0.8=0.768935,\quad \dfrac{D_{60}}{D_{57}}=v^3\times0.7=0.659626$

(2) 在職中の期始払年金1の現価

$\dfrac{N_{57}-N_{60}}{D_{57}}=1+0.882353+0.768935=2.651288$

(3) $C$ の比

$\dfrac{C_{57}}{D_{57}}=v\times0.1=0.098039,\quad \dfrac{C_{58}}{D_{57}}=v^2\times0.1=0.096117,\quad \dfrac{C_{59}}{D_{57}}=v^3\times0.1=0.094232$

(4) 3年間の脱退一時金1の現価

$\dfrac{M_{57}-M_{60}}{D_{57}}=0.098039+0.096117+0.094232=0.288388$

割引を忘れると $3\times0.1=0.3$ になる。差の $0.011612$ が3年ぶんの割引である。