確定年金の現価率

生死に関係なく一定期間支払う確定年金の現価率・終価率。年金給付を「$n$ 年確定年金」で設計する制度や、一時金と年金の換算に用いる。

終価 $s_{\angl{n}}=\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}$、$\ddot s_{\angl{n}}=(1+i)\,s_{\angl{n}}$

関係式は3本

$\ddot a_{\angl{n}}=(1+i)\,a_{\angl{n}}$

$\ddot a_{\angl{n}}=a_{\angl{n}}+1-v^{n}$

$s_{\angl{n}}=(1+i)^{n}a_{\angl{n}}$

年金数理での出番は3つ

(1) 有期の確定年金で支給する制度の給付現価 (2) 未積立債務の元利均等償却（`NEN059`）。償却額 $=\dfrac{\text{未積立債務}}{\ddot a_{\angl{m}}}$ の形で必ず出る (3) 一時金と年金の換算率

生存を考えないことが本質

終身年金 $\ddot a_x$ は「$l$ で重みづけした確定年金」とみなせる。逆に言えば、確定年金は残存確率をすべて1に置いた特別な場合である。

$n$ を無限に飛ばすと永久年金

$\ddot a_{\overline{\infty|}}=\dfrac1d$、$a_{\overline{\infty|}}=\dfrac1i$。賦課方式（`NEN027`）や定常状態の議論で上限として顔を出す。

(1) 現価

$a_{\angl{10}}=\dfrac{1-0.820348}{0.02}=\dfrac{0.179652}{0.02}=8.98259$

$\ddot a_{\angl{10}}=\dfrac{0.179652}{0.019608}=9.16224$

検算：$1.02\times8.98259=9.16224$ で一致する。

(2) 終価

$s_{\angl{10}}=\dfrac{1.218994-1}{0.02}=10.94972$

検算：$8.98259\times1.218994=10.94972$ で一致する。

(3) 未積立債務 1,000 を10年で元利均等償却する

毎年期初に払うなら $\dfrac{1{,}000}{9.16224}=109.14$

毎年期末に払うなら $\dfrac{1{,}000}{8.98259}=111.33$

差は $(1+i)$ 倍ぶん。どちらで置くかは問題文の指定に従う。