終身年金の現価

受給権者が生存する限り支払う終身年金の現価。基数の比 $N/D$ で表し、年金給付制度の給付現価の中核をなす。期始払と期末払は $1$ だけ違う。

期末払 $a_x=\dfrac{N_{x+1}}{D_x}=\ddot a_x-1$

$m$ 年据置 ${}_{m|}\ddot a_x=\dfrac{N_{x+m}}{D_x}$

$n$ 年有期 $\ddot a_{x:\angl{n}}=\dfrac{N_x-N_{x+n}}{D_x}$

期始払と期末払の差はちょうど1

$\ddot a_x-a_x=1$ である。割引も生存確率も関係しない。いま受け取る1回ぶんの差でしかない。$v$ を引くのではないことに注意する。

年金数理での主役は「定年後の終身年金」

Trowbridgeモデル（`NEN026`）では定年 $x_r$ 到達者に単位年金額の終身年金を払う。$x$ 歳の在職者から見た給付現価は

$\dfrac{D_{x_r}}{D_x}\,\ddot a_{x_r}$

の形になる。ここで $D_{x_r}/D_x$ は在職中の脱退残存表、$\ddot a_{x_r}$ は受給中の生命表から作るのがふつうで、2つの表は別物である。ひとつの表で通すと、受給中に退職脱退が起こることになってしまう。

平均余命より必ず小さい

$\ddot a_x\le 1+e_x$（`NEN003`）。予定利率が正であるかぎり等号にはならない。

(1) 期始払終身年金の現価

$\ddot a_{60}=1+v\times0.9+v^{2}\times0.7+v^{3}\times0.4$

$=1+0.882353+0.672818+0.376929=2.932100$

(2) 期末払

$a_{60}=\ddot a_{60}-1=1.932100$

(3) 漸化式で検算

$\ddot a_{61}=1+v\times\dfrac{700}{900}+v^{2}\times\dfrac{400}{900}=1+0.762527+0.427186=2.189713$

$1+v\,p_{60}\,\ddot a_{61}=1+0.882353\times2.189713=2.932100$ ⇒ (1) と一致する。

(4) 平均余命との大小

$1+e_{60}=3.0$ に対して $\ddot a_{60}=2.9321$ で、確かに小さい。

(5) 年金年額 120 万円なら

給付現価 $=120\times2.9321=351.85$ 万円。