保証期間付終身年金

死亡しても一定期間は必ず支払う保証期間を付けた終身年金。保証期間の確定年金部分と、保証期間経過後の据置終身年金部分の和で表す。

なぜ足すだけで済むのか

最初の $m$ 年は生死に関係なく必ず払うので確定年金 $\ddot a_{\angl{m}}$。$m$ 年より後は「$m$ 年後に生きていれば払う」ので据置終身年金 ${}_{m|}\ddot a_x=N_{x+m}/D_x$。2つの期間は1年も重ならないので、そのまま足せる。

保証を付けると現価は必ず増える

$\bigl(\ddot a_{\angl{m}}+{}_{m|}\ddot a_x\bigr)-\ddot a_x=\ddot a_{\angl{m}}-\ddot a_{x:\angl{m}}$

右辺は「$m$ 年以内に亡くなった人にも払い続けるぶん」で必ず 0 以上。保証期間は給付を足す仕組みなので、現価が減ることはない。

両端で何になるか

$m=0$ なら終身年金そのもの。$m$ を伸ばすと単調に増え、生存者が尽きる年齢まで伸ばすと $m$ 年確定年金に一致する。つまり保証期間付は終身年金と確定年金の間に必ず入る。

遺族一時金と表裏

死亡時に保証残存期間ぶんを一時金で払う設計にすると、その一時金は残存期間の確定年金現価そのものである。年金で払うか一時金で払うかは、同じ現価の払い方を変えているだけになる。

$D_{60}=1{,}000.000000$、$D_{61}=882.352941$、$D_{62}=672.818147$、$D_{63}=376.928934$

(1) 保証部分（2年確定）

$\ddot a_{\angl{2}}=1+v=1+0.980392=1.980392$

(2) 据置部分（2年据置の終身年金）

$N_{62}=D_{62}+D_{63}=672.818147+376.928934=1{,}049.747081$

${}_{2|}\ddot a_{60}=\dfrac{N_{62}}{D_{60}}=\dfrac{1{,}049.747081}{1{,}000}=1.049747$

(3) 合計

$1.980392+1.049747=3.030139$

(4) 保証なしとの差で検算

保証なしの終身年金は $\ddot a_{60}=2.932100$ なので増分は $3.030139-2.932100=0.098039$。

一方 $\ddot a_{\angl{2}}-\ddot a_{60:\angl{2}}=1.980392-1.882353=0.098039$ ⇒ 一致する。

(5) 保証期間を伸ばすと

$m=1$ で $2.932100$、$m=2$ で $3.030139$、$m=3$ で $3.318490$、$m=4$ で $3.883883$。

$m=4$ は $l_{64}=0$ なので据置部分が消え、4年確定年金そのものになっている。