有期年金・据置年金

支払期間を区切った有期年金と、一定期間後から支払を始める据置年金。定年退職から年金支給開始までの据置や、有期の退職年金の設計に使う。

$N$ の差が期間を切り出す

$N_x=D_x+D_{x+1}+\cdots$ は「$x$ 歳以降のすべての支払」の合計なので、$N_x-N_{x+n}$ は先頭 $n$ 回ぶんだけが残る。逆に $N_{x+m}$ をそのまま使えば、先頭 $m$ 回を落とした残りになる。

恒等式

$\ddot a_x=\ddot a_{x:\angl{n}}+{}_{n|}\ddot a_x$

「終身＝有期＋据置」。どちらか一方を出したら、この式で残りを検算できる。

据置年金は3つの部品に分解できる

$\dfrac{N_{x+m}}{D_x}=\dfrac{D_{x+m}}{D_x}\times\dfrac{N_{x+m}}{D_{x+m}}=v^{m}\,{}_mp_x\times\ddot a_{x+m}$

「$m$ 年後まで生き残る確率」×「$m$ 年ぶんの割引」×「その時点の終身年金」。据置の設問はこの形に開くと迷わない。

定年から支給開始までの据置は表を2つ使う

在職者は退職でも減るので在職の脱退残存表、受給者は退職では減らないので受給者の表を使う。57歳の在職者に「60歳から終身年金」を約束したときの給付現価は

$\dfrac{D^{\text{在職}}_{60}}{D^{\text{在職}}_{57}}\times\ddot a^{\text{受給}}_{60}$

の形になる。2つの表をどこで切り替えるかを最初に決めるのが要点である。

終身＝有期＋据置。数値例では $1.882353+1.049747=2.932100$ で終身に戻る。片方を出したらもう片方は引き算で出るので、2回計算する必要はない。

(1) 2年有期

$\ddot a_{60:\angl{2}}=\dfrac{N_{60}-N_{62}}{D_{60}}=\dfrac{2{,}932.100022-1{,}049.747081}{1{,}000}=1.882353$

直接に $1+v\times0.9=1+0.882353=1.882353$ と一致する。

(2) 2年据置

${}_{2|}\ddot a_{60}=\dfrac{N_{62}}{D_{60}}=1.049747$

(3) 恒等式で検算

$1.882353+1.049747=2.932100=\ddot a_{60}$ ⇒ 一致する。

(4) 据置を3つの部品に開く

$v^{2}=0.961169$、${}_2p_{60}=700/1{,}000=0.7$、$\ddot a_{62}=N_{62}/D_{62}=1.560224$

$0.961169\times0.7\times1.560224=1.049747$ ⇒ (2) と一致する。

(5) 定年据置（表を2つ使う）

在職の脱退残存表を $l_{57}=1{,}000$、$l_{60}=700$ とすると

$\dfrac{D^{\text{在職}}_{60}}{D^{\text{在職}}_{57}}=v^{3}\times\dfrac{700}{1{,}000}=0.942322\times0.7=0.659626$

給付現価 $=0.659626\times2.932100=1.934088$

在職の表だけで $(N_{57}-N_{60})/D_{57}=2.651288$ と作ると、それは57〜59歳の在職中に払う年金であって別物である。