度数分布表と記述統計量

【約束1：階級値で代表させる】 すべての観測値がそれぞれの階級値に集まっているとみなします。 ・平均は $\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum_i \xi_i f_i$ です。 ・最頻値（モード）は度数が最大の階級の階級値です。度数そのものではありません。 ・第1四分位点 $Q_1$ は、累積相対度数が初めて $0.25$ を超える階級の階級値です。第3四分位点 $Q_3$ は初めて $0.75$ を超える階級の階級値です。 ・四分位偏差は $\dfrac{Q_3-Q_1}{2}$ です。四分位範囲 $Q_3-Q_1$ と取り違えないようにします。 ・分散も同じ約束で $\dfrac{1}{N}\sum_i (\xi_i-\bar{x})^2 f_i$ と計算できます。

【約束2：階級の中で一様に分布すると仮定して補間する】 累積の割合が階級の中で直線的に増えるとみなします。累積相対度数が初めて $p$ を超える階級を $m$ とすると、$p$ 分位点は $x_p=a_{m-1}+\dfrac{h}{f_m}\Bigl(pN-\sum_{i<m} f_i\Bigr)$ です。中央値は $p=\dfrac{1}{2}$ として $x_{1/2}=a_{m-1}+\dfrac{h}{f_m}\Bigl(\dfrac{N}{2}-\sum_{i<m} f_i\Bigr)$ になります。括弧の中は「その階級に入ってから、あと何人ぶん進めば真ん中に届くか」で、それを階級の度数で割って幅 $h$ を掛けると、下限からの距離になります。

【どちらの約束かは設問が決める】 「各階級の代表値を使って」とあれば約束1、「各階級の中で観測値が一様に分布すると仮定して」とあれば約束2です。同じ度数分布表でも、四分位点を約束1で出すか約束2で出すかで値が違います。1つの大問の中で両方が使い分けられることもあるので、小問ごとに指定を読みます。

階級値で代表させると、平均は $\dfrac{5\times4+15\times11+25\times15+35\times10+45\times6+55\times4}{50}=\dfrac{1400}{50}=28$ 分、最頻値は度数 $15$ の階級の階級値で $25$ 分です。$Q_1$ は累積相対度数が初めて $0.25$ を超える $[10,20)$ の階級値 $15$、$Q_3$ は初めて $0.75$ を超える $[30,40)$ の階級値 $35$ なので、四分位偏差は $\dfrac{35-15}{2}=10$ 分です。

一様分布を仮定した中央値は、累積相対度数が初めて $0.5$ を超える $[20,30)$ の中にあり、$20+\dfrac{10}{15}\,(25-15)=26.67$ 分です。同じ仮定で四分位点も補間すると $Q_1=10+\dfrac{10}{11}\,(12.5-4)=17.73$、$Q_3=30+\dfrac{10}{10}\,(37.5-30)=37.5$ で、四分位偏差は $9.89$ 分になり、階級値で代表させた $10$ 分とは一致しません。