独立

知識マップ

確率・用語

ひとことで言うと

「片方の結果を知っても、もう片方の起こりやすさが変わらない」関係のことです。サイコロを2回振るような、互いに影響し合わない出来事どうしの関係を指します。

独立な2つの事象の組み合わせを表す格子。各マスの確率が、行の確率 $P(A)$ と列の確率 $P(B)$ の単純な掛け算になるのが独立の特徴。

数式で表すと

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

事象・確率変数が互いに影響しない関係。同時確率が積に分解できる。

2つの事象 A, B が独立であるとは、同時に起こる確率が各確率の積に分解できること、すなわち

P(A\cap B)=P(A)P(B)

で定義されます。これは条件付き確率で言い換えると

P(A\mid B)=P(A)

、つまり「Bが起きたという情報を知ってもAの確率は変わらない」ことと同値です。確率変数の独立も同じ発想で、

X

と

Y

が独立とは、任意の値で同時分布が周辺分布の積に分かれること（

f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

）です。独立なら期待値も積に分解でき、

E[XY]=E[X]E[Y]

、したがって

\mathrm{Cov}(X,Y)=0

が成り立ちます。注意したいのは逆が成り立たないことと、独立と排反（互いに排他）は別物だということです。排反は

P(A\cap B)=0

で「同時には起きない」関係、独立は

P(A\cap B)=P(A)P(B)

で「影響しない」関係。排反な2事象は（どちらも確率が正なら）むしろ強く依存しています（片方が起きたら他方は必ず起きない）。

試験に出る性質

独立の定義

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。同値に $P(A\mid B)=P(A)$ （情報があっても確率が変わらない）。

期待値の積分解

独立なら $E[XY]=E[X]E[Y]$ 。これより $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 。

分散の加法性

独立なら $\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)$ （共分散の項が消える）。

無相関は独立より弱い

独立 ⇒ 無相関だが、逆は一般に成り立たない（無相関でも依存し得る）。

独立と排反は別物

排反は $P(A\cap B)=0$ 。確率が正なら排反な2事象はむしろ依存している。

例で見る

サイコロを2回振る。A=「1回目が偶数」( $P(A)=1/2$ )、B=「2回目が3以上」( $P(B)=4/6=2/3$ )。1回目と2回目は無関係なので $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ 実際に数え上げても36通り中12通りで一致し、独立が確認できる。

つまずきポイント

独立 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ と排反 $P(A\cap B)=0$ を混同する
無相関（Cov=0）なら必ず独立だと思い込む（逆は成り立たない）
3つ以上の事象では「2つずつ独立」でも全体が独立とは限らない（独立性の確認が不十分）

定着クイズ

事象A, Bが独立であることの定義は？

XとYが独立のとき、必ず成り立つのは？

$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ （無相関）であるとき正しいのは？