生存関数と死力

生保数理・公式・生命関数・生命表・定常人口

ひとことで言うと

生命表の生存者数 l_x を「なめらかな1本の曲線」とみなして、その減り方の勢いを測ったものが死力。死亡率が「1年でどれだけ減るか」なのに対し、死力は「今この瞬間どれだけの勢いで減っているか」を表す。勢い（死力）を足し合わせれば生存確率が出る——生保数理の計算はすべてこの往復でできている。

死力は、生存者数曲線の接線の傾きを、その時点の生存者数で割って符号を変えたもの（相対的な減少速度）。

\mu_x=-\dfrac{d}{dx}\log l_x,\quad {}_tp_x=\exp\!\left(-\int_0^t\mu_{x+s}\,ds\right)

生存者数 $l_x$ ・生存確率 ${}_tp_x$ と死力 $\mu_x$

年齢 $x$ の生存者数を $l_x$ とし、これを年齢の連続関数とみなす。 $x$ 歳の人が $t$ 年後も生存している確率は

${}_tp_x=\dfrac{l_{x+t}}{l_x}$

死力は生存者数の対数微分に負号を付けたもの

$\mu_x=-\dfrac{d}{dx}\log l_x$

(1) 死力が一定の場合： $\mu_{x+s}=0.02$ （すべての $s$ ）とすると

${}_{10}p_x=\exp(-0.02\times10)=e^{-0.2}=0.818731$

死力がすべての年齢で $\mu=0.02$ 一定であるとき、 ${}_{10}p_x$ に最も近いものはどれか。

$l_x=1000\left(1-\dfrac{x}{100}\right)$ であるとき、 $\mu_{50}$ に最も近いものはどれか。

死力に関する記述として正しいものはどれか。