死力のモデル（de Moivre・Gompertz・Makeham）

死力の関数形を仮定する代表的モデル。de Moivre（一様）、Gompertz（$Bc^x$）、Makeham（$A+Bc^x$）、指数型などがあり、それぞれ$l_x$・生存確率が閉形式になる。

となり、残存期間$T_x$は区間$(0,\omega-x)$上の一様分布になる。より一般に

$\mu_x=\dfrac{a}{\omega-x}\ \Longrightarrow\ l_x\propto(\omega-x)^{a},\quad {}_tp_x=\left(\dfrac{\omega-x-t}{\omega-x}\right)^{a}$

で、$a=1$ が本来のde Moivre型である。この拡張型は平均余命の出題で繰り返し使われる。

② Gompertz型（指数型）

$\mu_x=Bc^{x}\ (=e^{ax+b})\ \Longrightarrow\ {}_tp_x=g^{c^{x}(c^{t}-1)},\quad g=\exp\!\left(-\dfrac{B}{\log c}\right)$

老化による死亡が年齢に対して指数的に増える、という仮定である。

③ Makeham型

$\mu_x=A+Bc^{x}\ \Longrightarrow\ {}_tp_x=s^{t}g^{c^{x}(c^{t}-1)},\quad s=e^{-A}$

Gompertz型に、年齢によらない定数$A$（事故等による死亡）を加えた形。$s^{t}$という年齢に依存しない因子が付くのが特徴で、連生（SEI050）ではこの性質が「同年齢2人への置き換え」に使われる。

逆に、関数形を仮定せず生命表の数値から死力を近似することもできる。中心差分により

$\mu_x\approx\dfrac{l_{x-1}-l_{x+1}}{2\,l_x}$

である（$l_x$は減少関数なので分子は正）。

(2) 拡張型（$\omega=100$、$a=2$、すなわち $\mu_x=\dfrac{2}{100-x}$）：

${}_{10}p_{50}=\left(\dfrac{40}{50}\right)^{2}=0.64,\qquad \mathring e_{50}=\dfrac{100-50}{2+1}=16.666667$

$a$が大きいほど死力が強く、生存確率も平均余命も小さくなる。

(3) Makeham型（$A=0.001$、$B=0.00003$、$c=1.09$）：$\mu_{50}=0.001+0.00003\times1.09^{50}=0.003231$ で、1年生存確率は

$p_{50}=\exp\left(-A-\dfrac{B}{\log c}c^{50}(c-1)\right)=0.996676$

である（死力を数値積分しても同じ値になる）。

(4) 中心差分による近似：$\mu_x=e^{0.09x-9.5}$（Gompertz型）から作った$l_x$に対し

$\dfrac{l_{59}-l_{61}}{2\,l_{60}}=0.016583$

で、真値 $\mu_{60}=e^{0.09\times60-9.5}=0.016573$ をよく近似している。