平均余命・完全平均余命

年齢xの人の余命の期待値。連続の完全平均余命$\mathring e_x$は生存確率の積分、離散の平均余命$e_x$は和で表す。両者は約1/2の差を持つ。

で表す。整数年単位で数えるものを平均余命といい

$e_x=\displaystyle\sum_{t=1}^{\infty}{}_tp_x$

である。両者の間には、各年齢の1年間で死亡が一様に起こる（UDD・SEI011）という仮定のもとで

$\mathring e_x\approx e_x+\dfrac{1}{2}$

という関係が成り立つ。$\int_0^{\infty}{}_tp_xdt$ を台形で近似したときの補正が $1/2$ にあたる。

期待値の定義から $\mathring e_x=\int_0^{\infty}t\cdot{}_tp_x\mu_{x+t}\,dt$ と書くこともできるが、部分積分して $\int_0^{\infty}{}_tp_xdt$ にしてから計算するほうが圧倒的に速い。試験では常に後者を使う。

実務・試験でよく使う変形は次の3つである。

① 有期：$\mathring e_{x:\angl{n}}=\displaystyle\int_0^{n}{}_tp_x\,dt$ ② 再帰式：$\mathring e_x=\displaystyle\int_0^{1}{}_tp_x\,dt+p_x\,\mathring e_{x+1}$ ③ 分解：$\mathring e_x=\mathring e_{x:\angl{n}}+{}_np_x\,\mathring e_{x+n}$（$n$年までとそれ以降に分ける）

③は「$n$年後の平均余命との差」を問う出題でそのまま使える。

死力のモデルが与えられた場合の即答公式は次のとおり（SEI008）。

$\mu_x=\dfrac{a}{\omega-x}\ \Longrightarrow\ \mathring e_x=\dfrac{\omega-x}{a+1}$

逆に、平均余命の関数形が与えられて死力を問われたら、SEI010の関係式 $\dfrac{d}{dx}\mathring e_x=\mu_x\mathring e_x-1$ を使って死力に戻す。

$\mathring e_{40}=\displaystyle\int_0^{60}\dfrac{60-t}{60}dt=30,\qquad e_{40}=\sum_{t=1}^{59}\dfrac{60-t}{60}=29.5$

となり、差はちょうど $\dfrac{1}{2}$ である（de Moivre型は死亡が完全に一様なのでUDDが厳密に成り立つ）。

(2) 再帰式の確認：同じ設定で

$\displaystyle\int_0^{1}{}_tp_{40}dt+p_{40}\,\mathring e_{41}=\dfrac{119}{120}+\dfrac{59}{60}\times\dfrac{59}{2}=30$

と、(1)と一致する。

(3) 有期：同じ設定で $\mathring e_{40:\angl{10}}=\displaystyle\int_0^{10}\dfrac{60-t}{60}dt=9.166667$。$10$年間に期待される生存年数はほぼ$9.17$年で、$10$年に満たない分が死亡による損失にあたる。