平均余命と死力の関係（微分）

完全平均余命を年齢で微分すると死力と平均余命自身で表せるという関係。平均余命の年齢変化や死力の推定に使う理論的道具。

導出：$T_x=\displaystyle\int_0^{\infty}l_{x+t}\,dt$（延べ生存年数・SEI012）とおくと $\mathring e_x=\dfrac{T_x}{l_x}$ である。両辺を$x$で微分すると、$\dfrac{dT_x}{dx}=-l_x$、$\dfrac{dl_x}{dx}=-\mu_x l_x$ なので

$\dfrac{d}{dx}\mathring e_x=\dfrac{-l_x\cdot l_x-T_x\cdot(-\mu_x l_x)}{l_x^{2}}=\mu_x\,\mathring e_x-1$

となる。

読み方：右辺の$-1$は「1年歳をとった分だけ余命が1年減る」効果、$\mu_x\mathring e_x$は「その1年を生き延びたことで、死亡していたはずの人の分だけ平均が押し上げられる」効果である。通常の年齢では前者が勝つので$\dfrac{d}{dx}\mathring e_x<0$（平均余命は減る）だが、$\mu_x>\dfrac{1}{\mathring e_x}$ となる高齢域では符号が反転しうる。

使い方は2方向ある。

① 平均余命 → 死力：$\mu_x=\dfrac{1+\dfrac{d}{dx}\mathring e_x}{\mathring e_x}=\dfrac{1}{\mathring e_x}+\dfrac{\dfrac{d}{dx}\mathring e_x}{\mathring e_x}$ ② 死力 → 平均余命の変化：$\mathring e_{x+1}-\mathring e_x$ の近似

①の形は大問の空欄補充でそのまま問われる。死力が求まれば ${}_tp_x=\exp\left(-\int\mu\right)$ で生存確率にも進める。

導出は$\mathring e_x=T_x/l_x$の商の微分だけ。この導出過程自体が大問の空欄補充で出題される（2020年度問題3（1）(ⅰ)は$\dfrac{d({}_tp_x)}{dx}$の表現から出発して①〜⑥の空欄でこの関係式を導かせる）。

$\mu_x\mathring e_x-1=\dfrac{1}{\omega-x}\cdot\dfrac{\omega-x}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$

で、左辺 $\dfrac{d}{dx}\dfrac{\omega-x}{2}=-\dfrac{1}{2}$ と一致する。de Moivre型では平均余命が「1年あたり0.5年」しか減らない。

(2) 平均余命から生存確率を出す：$\mathring e_x=100e^{-0.01x}$ とする。$\dfrac{d}{dx}\mathring e_x=-e^{-0.01x}$ なので

$\mu_x=\dfrac{1-e^{-0.01x}}{100e^{-0.01x}}=\dfrac{e^{0.01x}-1}{100}$

である（$\mu_{50}=0.00648721$、$\mu_{75}=0.01117$）。これを積分すると

$\log{}_{25}p_{50}=-\displaystyle\int_{50}^{75}\mu_x\,dx=-\left(e^{0.75}-e^{0.5}\right)+0.25=-0.218279$

したがって ${}_{25}p_{50}=e^{-0.218279}=0.803901$ である。

(3) 関係式による検算：(2)で求めた死力を関係式の右辺に入れると、$x=50$ では $\mathring e_{50}=100e^{-0.5}=60.653066$ なので

$\mu_{50}\,\mathring e_{50}-1=0.00648721\times60.653066-1=-0.606531$

となり、左辺 $\dfrac{d}{dx}\mathring e_{50}=-e^{-0.5}=-0.606531$ と一致する。死力を求めたら必ずこの式に戻して検算する。

なおこのモデルでは $\mu_x=\dfrac{e^{0.01x}-1}{100}$ が常に $\dfrac{1}{\mathring e_x}=\dfrac{e^{0.01x}}{100}$ を下回るので、平均余命はどの年齢でも減少する（$\mathring e_x$ が最初から減少関数として与えられているので当然である）。