端数期間の生存確率（一様分布・定常死力）

整数年齢間の端数期間$s$における生存・死亡確率の補間仮定。死亡の一様分布（UDD）と定常死力（一定死力）の2仮定が代表的で、端数期間の年金・保険計算に用いる。

① 死亡の一様分布（UDD）：1年の間、死亡が時間的に一様に起こると仮定する。$l_{x+s}$は直線になり

${}_sq_x=s\,q_x,\qquad l_{x+s}=l_x-s\,d_x$

である。このとき死力は

$\mu_{x+s}=\dfrac{q_x}{1-s\,q_x}$

で、$s$とともに増加する（死亡数が一定なのに分母の生存者が減るため）。据置つきの確率も $s+t\le1$ なら ${}_{s|t}q_x=t\,q_x$ と、位置によらず幅だけで決まる。

② 定常死力（一定死力）：1年の間、死力が一定$\mu$と仮定する。すると

${}_sp_x=(p_x)^{s},\qquad \mu=-\log p_x$

である。$l_{x+s}$は指数曲線になる。

どちらの仮定でも$s=0,1$では生命表の値に一致し、途中でわずかにずれる。$q_x$が小さいうちは差もごく小さいが、問題文が「死亡は各年齢間で一様に分布する」等と指定していればそれに従うのが原則である。

この仮定は端数期間そのものを問う問題だけでなく、平均余命と死亡率の関係（$\mathring e_x\approx e_x+\frac12$）や、平均余命から死亡率を推定する問題の土台にもなっている。

また $l_x=1000$ なら $l_{x+0.5}=1000-0.5\times40=980$、据置つきでは ${}_{0.5|0.25}q_x=0.25\times0.04=0.01$ である。

(2) 定常死力

${}_{0.5}p_x=0.96^{0.5}=0.979796\ \Rightarrow\ {}_{0.5}q_x=0.020204,\qquad \mu=-\log0.96=0.040822$

据置つきでは ${}_{0.5|0.25}q_x=0.96^{0.5}-0.96^{0.75}=0.009948$ である。

(3) 比較：${}_{0.5}q_x$ は $0.0200$ と $0.0202$、$\mu$ は $0.040816$ と $0.040822$ で、いずれも第3〜4位でしか違わない。それでも「最も近いものを選べ」形式では選択肢が割れることがあるため、仮定の指定は必ず確認する。