定常人口

毎年一定数が出生し生命表に従って死亡する社会で人口構成が時間不変となる状態。$L_x$（定常人口）・$T_x$（延べ生存年数）を用い、平均年齢や死亡時平均年齢を求める。

$x$歳以上の人口（＝$x$歳の集団の延べ生存年数）は

$T_x=\displaystyle\int_0^{\infty}l_{x+t}\,dt=\sum_{k\ge0}L_{x+k}$

である。ここから主要な指標がすべて出る。

① 総人口＝$T_0$（$l_0$ではない） ② 完全平均余命＝$\mathring e_x=\dfrac{T_x}{l_x}$ ③ 平均年齢＝$\dfrac{\displaystyle\int_0^{\infty}x\,l_x\,dx}{T_0}$ ④ 死亡時の平均年齢＝$\mathring e_0$（＝平均寿命） ⑤ 中央死亡率＝$m_x=\dfrac{d_x}{L_x}$

④は「死亡した人の年齢の平均」で、定常人口では出生集団の平均寿命に一致する。③平均年齢と④平均寿命は別物で、若い人ほど人数が多いぶん平均年齢のほうが小さくなるのが普通である。

⑤の中央死亡率は分母が$L_x$（期央の生存者に近い）なので、分母が$l_x$（期初）の$q_x$より必ず大きい。多重脱退（SEI016）の中央脱退率も同じ構造である。

定常性が崩れる設定も出題される。出生数が年々変化する場合は各年齢の人口が$l_x$そのままではなくなり、出生数の系列で重みづけて足し合わせる必要がある。

(1) 総人口と平均寿命

$T_0=\displaystyle\int_0^{100}K(100-x)\,dx=5000K,\qquad \mathring e_0=\dfrac{T_0}{l_0}=\dfrac{5000K}{100K}=50$

(2) 平均年齢

$\dfrac{\displaystyle\int_0^{100}xK(100-x)dx}{T_0}=\dfrac{166666.7K}{5000K}=33.333333$

平均寿命$50$歳に対し平均年齢は$33.3$歳で、両者は大きく違う。

(3) 中央死亡率：$x=50$では $l_{50}=50K$、$l_{51}=49K$、$d_{50}=K$、$L_{50}=49.5K$ なので

$m_{50}=\dfrac{K}{49.5K}=0.020202,\qquad q_{50}=\dfrac{K}{50K}=0.02$

と、$m_{50}>q_{50}$ である。

(4) 死亡時の平均年齢：この生命表では死亡年齢は区間$(0,100)$上の一様分布なので平均$50$歳となり、$\mathring e_0=50$ と一致する。