選択表・終局表

加入時の健康選択の影響を織り込んだ生命表。加入直後は選択効果で死亡率が低く（選択期間）、一定年数経過後は終局表に合流する。$[x]+t$の記法で選択後経過を表す。

選択期間を $r$ 年とすると、$t<r$ の間は選択表の $q_{[x]+t}$ を使い、$t\ge r$ になったら加入年齢によらず終局表の $q_{x+t}$ に合流する。合流後は、いつ加入した人かを区別する必要がなくなる。

生存確率は、選択期間を抜ける前後で引く欄を切り替えながら順に掛ける。選択期間が3年で、47歳加入・現在48歳（経過1年）の人が5年生存する確率なら

$${}_5p_{[47]+1}=(1-q_{[47]+1})(1-q_{[47]+2})(1-q_{50})(1-q_{51})(1-q_{52})$$

はじめの2つが選択表、残り3つが終局表になる。

到達年齢を固定して縦に見ると、加入が新しい人ほど死亡率が低い。到達年齢 $x$ に対して

$$q_{[x]}<q_{[x-1]+1}<q_{[x-2]+2}<\cdots<q_x$$

が並び、右へ行くほど選択効果が薄れていく。いちばん右の $q_x$ が終局表の値である。

$$q_{[61]}=0.0055,\quad q_{[61]+1}=0.0075,\quad q_{63}=0.0101$$

Aさんは60歳で加入し、Bさんは61歳で加入して、2人とも現在62歳である。

Aさんは経過2年なので選択期間を抜けており、今後は終局表を使う。

$${}_2p_A=(1-q_{62})(1-q_{63})=(1-0.0092)(1-0.0101)=0.98079$$

Bさんは経過1年なのでまだ選択期間内で、1年目だけ選択表の $q_{[61]+1}$ を使い、2年目からは終局表に合流する。

$${}_2p_B=(1-q_{[61]+1})(1-q_{63})=(1-0.0075)(1-0.0101)=0.98248$$

2年後にちょうど1人だけ生存している確率は

$${}_2p_A(1-{}_2p_B)+{}_2p_B(1-{}_2p_A)=0.03606$$

2人とも生存する確率 0.96361 と、2人とも死亡する確率 0.00034 を足すと1になる。