χ²検定

統計・用語

ひとことで言うと

カイ二乗統計量 $\chi^2=\sum (O-E)^2/E$ を使う検定の総称です。「適合度検定」と「独立性検定」が代表で、どちらも観測度数 $O$ と期待度数 $E$ のズレを測ります。ここでは特に分割表（クロス集計）を使う独立性検定を主役に扱います。

2×2分割表の各セルに観測度数 $O$ と期待度数 $E$ を書き込んだ図。期待度数は $E_{ij}=(\text{行合計}\times\text{列合計})/\text{総合計}$ で求め、 $O-E$ のズレを $\chi^2$ で集計する。自由度は $(r-1)(c-1)$ 。

数式で表すと

$\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$

カイ二乗統計量による検定の総称（適合度・独立性）。期待度数との乖離を測る。

χ²検定は、検定統計量

\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}

を使う検定の総称です。観測度数

O

が、帰無仮説のもとで期待される度数

E

からどれだけズレているかを、二乗して

E

で正規化しながら全セルにわたって足し上げます。この統計量は帰無仮説のもとで近似的にχ²分布（concept: χ²分布）に従い、値が大きい（臨界値を超える）ほど帰無仮説を棄却します。χ²検定には大きく「適合度検定」と「独立性検定」の2つがあり、統計量の形は共通でも自由度の決め方が異なります。適合度検定は「1つのカテゴリ変数が想定した理論分布に従うか」を調べるもので、自由度はカテゴリ数

k

から

k-1

（パラメータを推定した分だけさらに減る）です。これは concept: 適合度検定で詳しく扱ったので、ここでは振り返るだけにとどめ、新しい話題として独立性検定を主役にします。独立性検定は、2つのカテゴリ変数が独立か（関連がないか）を

r

行

c

列の分割表（クロス集計表）で調べます。帰無仮説は「2変数は独立」。このとき各セルの期待度数は、独立なら同時確率が周辺確率の積になることから

E_{ij}=\dfrac{(\text{

行の合計})\times(\text{

列の合計})}{\text{総合計}}

で計算します。検定統計量は同じく

\chi^2=\sum_{i,j}(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}

ですが、自由度は適合度検定とは異なり

\text{自由度}=(r-1)(c-1)

です（

r

は行数、

c

は列数）。行・列それぞれの合計を固定すると自由に決められるセルが

(r-1)(c-1)

個になるためで、たとえば2×2表なら自由度は

(2-1)(2-1)=1

です。適合度検定の

k-1

とは別物なので、表の形から

(r-1)(c-1)

を必ず使い分けてください。期待度数が小さすぎる（目安5未満の）セルが多いとχ²近似が悪くなるのは、適合度検定と同じ注意点です。

試験に出る性質

共通の統計量

$\chi^2=\sum(O-E)^2/E$ 。観測と期待のズレを二乗して $E$ で正規化し足し上げる。

2つの検定の総称

適合度検定（理論分布への当てはまり）と独立性検定（2変数の独立性）をまとめてχ²検定と呼ぶ。

適合度検定の自由度

カテゴリ数 $k$ で自由度 $k-1$ （推定パラメータ分さらに減る）。詳細は concept: 適合度検定。

独立性検定の期待度数

$E_{ij}=(\text{行合計}\times\text{列合計})/\text{総合計}$ 。独立なら同時確率は周辺確率の積、という事実から。

独立性検定の自由度

$(r-1)(c-1)$ （ $r$ 行・ $c$ 列）。2×2表なら1。適合度の $k-1$ とは別の公式。

例で見る

2×2分割表で観測度数が $\begin{bmatrix}30&10\\20&40\end{bmatrix}$ （総合計100、行合計40・60、列合計50・50）。左上の期待度数は $E_{11}=\dfrac{40\times50}{100}=20$ 。同様に各セルの $E$ を出して $\chi^2=\sum(O-E)^2/E$ を計算する。自由度は $(2-1)(2-1)=1$ で、自由度1のχ²分布の臨界値と比較する。

つまずきポイント

独立性検定の自由度に適合度の $k-1$ を使う（独立性検定は $(r-1)(c-1)$ 。表の行数・列数から決める）
期待度数 $E_{ij}$ の計算で「行合計×列合計÷総合計」を取り違える（総合計で割るのを忘れない）
$\chi^2=\sum(O-E)^2/E$ の分母を観測度数 $O$ にする（割るのは期待度数 $E$ ）

定着クイズ

χ²検定の統計量 $\chi^2=\sum(O-E)^2/E$ で割る分母は？

$r$ 行 $c$ 列の分割表による独立性検定の自由度は？

独立性検定での期待度数 $E_{ij}$ の求め方は？