χ²分布

確率・用語

ひとことで言うと

「独立な標準正規分布をいくつか2乗して足し合わせた量」が従う分布です。2乗して足すので必ず0以上の値になり、標本分散や適合度検定（χ²検定）の土台として登場します。

標本分散 $(n-1)S^2/\sigma^2$ の散らばり適合度検定（χ²検定）の統計量分割表の独立性検定の統計量正規データの分散に関する区間推定複数の標準正規の二乗和

「独立な標準正規 $Z_1,\dots,Z_k$ を2乗して足した量 $\sum Z_i^2$ 」がχ²分布です。足す個数 $k$ を自由度と呼び、標本分散や適合度検定の基礎分布として現れます。

自由度 $k=2,4,8$ のχ²分布の密度。すべて0以上の右に裾を引く分布で、 $k$ が大きいほど山が右へ移り、左右対称（正規分布）に近づく。

$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim\chi^2(k),\ E=k,\ \mathrm{Var}=2k$

独立な標準正規の二乗和の分布。標本分散・適合度検定の基礎分布。

χ²分布は、独立な標準正規分布

Z_1,\dots,Z_k

を2乗して足した量

\chi^2(k)=Z_1^2+Z_2^2+\dots+Z_k^2

が従う分布です。足し合わせる個数

k

を自由度と呼びます。2乗の和なので値は必ず0以上で、分布は左端が0に張りつき、右に裾を引く非対称な形をしています。平均と分散は定義から導けます。標準正規

Z

について

E[Z^2]=\mathrm{Var}(Z)=1

、また

E[Z^4]=3

から

\mathrm{Var}(Z^2)=E[Z^4]-(E[Z^2])^2=3-1=2

。これを独立に

k

個足すので

E[\chi^2(k)]=k,\quad \mathrm{Var}(\chi^2(k))=2k

となります。自由度がそのまま平均、その2倍が分散です。

k

が大きいほど（独立な量をたくさん足すので）中心極限定理が効き、χ²分布は正規分布に近づいて左右対称になっていきます。 χ²分布はガンマ分布の特別な場合でもあり、

\lambda=1/2,\ k_{\text{gamma}}=n/2

のガンマ分布がちょうど

\chi^2(n)

に一致します。実務での最大の出番は標本分散です。正規母集団からの標本では

(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)

が成り立ち、これが分散の区間推定や検定の根拠になります。また、観測度数と期待度数のズレを測る適合度検定（χ²検定）の統計量も、近似的にχ²分布に従います。

定義

独立な標準正規の二乗和 $\sum_{i=1}^k Z_i^2\sim\chi^2(k)$ 。 $k$ を自由度と呼ぶ。

平均と分散

$E=k$ 、 $\mathrm{Var}=2k$ 。自由度がそのまま平均、その2倍が分散。

非負・右に裾

2乗和なので値は0以上。左端0に張りつき右へ裾を引く非対称分布。 $k$ が大きいと正規に近づく。

標本分散との関係

正規母集団で $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$ 。分散の検定・区間推定の土台。

ガンマ分布の特別な場合

$\lambda=1/2,\ k_{\text{gamma}}=n/2$ のガンマ分布が $\chi^2(n)$ に一致する。

標準正規 $Z_1,Z_2,Z_3$ （独立）について $W=Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2$ は $\chi^2(3)$ に従う。その平均と分散は $E[W]=k=3,\quad \mathrm{Var}(W)=2k=6$ 。自由度3なので、平均3・分散6の右に裾を引く分布になる。

χ²分布 $\chi^2(k)$ はどう作られる？

$\chi^2(k)$ の平均と分散は？

正規母集団の標本分散について成り立つのは？

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