χ²分布

確率・用語・標本分布族（χ²・t・F）

ひとことで言うと

「独立な標準正規分布をいくつか2乗して足し合わせた量」が従う分布です。2乗して足すので必ず0以上の値になり、標本分散や適合度検定（χ²検定）の土台として登場します。

標本分散 (n−1)S²/σ² の散らばり適合度検定（χ²検定）の統計量分割表の独立性検定の統計量正規データの分散に関する区間推定複数の標準正規の二乗和指数分布の母平均の検定統計量 2nX̄/μ

「独立な標準正規 $Z_1,\dots,Z_k$ を2乗して足した量 $\sum Z_i^2$ 」がχ²分布です。足す個数 $k$ を自由度と呼び、標本分散や適合度検定の基礎分布として現れます。

X=\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim\chi^2(k),\ E[X]=k,\ V[X]=2k

χ²分布は、独立な標準正規分布 $Z_1,\dots,Z_k$ を2乗して足した量 $\chi^2(k)=Z_1^2+Z_2^2+\dots+Z_k^2$

定義

独立な標準正規の二乗和 $\sum_{i=1}^k Z_i^2\sim\chi^2(k)$

標準正規 $Z_1,Z_2,Z_3$ （独立）について $W=Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2$

χ²分布 $\chi^2(k)$ はどう作られる？

$\chi^2(k)$ の平均と分散は？

正規母集団の不偏分散 $u^2$ について成り立つのは？