ガンマ分布

確率・用語

ひとことで言うと

「指数分布的な待ち時間がk回続けて起こるまでの、合計の待ち時間」を表す連続分布です。指数分布（1回分の待ち時間）をk回分足し合わせたものと考えられます。

k回目の事故が起きるまでの累積時間保険金支払いがk件発生するまでの合計待ち時間設備がk回故障するまでの累積稼働時間k人来店するまでの時間複数の保険金支払額の合計（形状パラメータが整数でなくても近似に使われる）

独立な指数分布 $Exp(\lambda)$ を $k$ 個足すと、ガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(k,\lambda)$ になります（kが整数のときアーラン分布とも呼ばれる）。

横軸は $x\ (\ge 0)$ 、縦軸は密度 $f(x)$ 。形状k・率λで決まる。k=3, λ=1 の例では x=(k−1)/λ 付近に山がある（k=1なら指数分布と同じ単調減少）。

$E[X]=k/\lambda,\ \mathrm{Var}=k/\lambda^2$

独立な指数分布 $k$ 個の和（形状 $k$ ・率 $\lambda$ ）。ポアソン過程の第 $k$ 到着時刻の分布。

表記には複数の流儀があり、

\mathrm{Gamma}(k,\lambda)

のように形状パラメータ k（指数分布を何個足すか）と率パラメータ λ（1個あたりの率）で表すのがacpassでの基本形です。別の教科書では尺度パラメータ

\theta=1/\lambda

を使う流儀もあるため、問題文の記法を必ず確認します。 k=1のときは指数分布

Exp(\lambda)

と完全に一致します。つまり指数分布はガンマ分布の特別な場合です。なぜ「k個の指数分布の和」がこの形になるのか。指数分布は1回分の待ち時間なので、k回分を順に待つ合計時間がガンマ分布、という直感です（ポアソン過程でk件目が到着するまでの時間、と言い換えられます）。

平均と分散

$E[X]=k/\lambda,\ \mathrm{Var}[X]=k/\lambda^2$ 。

指数分布との関係

k=1のとき $\mathrm{Gamma}(1,\lambda)=Exp(\lambda)$ 。

再生性（λが共通の場合）

独立な $\mathrm{Gamma}(k_1,\lambda)$ , $\mathrm{Gamma}(k_2,\lambda)$ の和は $\mathrm{Gamma}(k_1+k_2,\lambda)$ 。

χ²分布との関係

$\lambda=1/2,\ k=n/2$ のとき自由度nのχ²分布に一致する。

無記憶性は持たない

k≠1のガンマ分布は指数分布と違い無記憶性を持たない（k=1のときのみ持つ）。

1時間あたり平均1件（λ=1）の事故が起きるとき、3件目の事故が起きるまでの待ち時間の平均は $E[X]=k/\lambda=3/1=3$ 時間。

$\mathrm{Gamma}(k,\lambda)$ の平均は？

ガンマ分布で k=1 のときに一致する分布は？

独立な $\mathrm{Gamma}(2,\lambda)$ と $\mathrm{Gamma}(3,\lambda)$ （λ共通）の和は？

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