ガンマ分布

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確率・用語・連続分布

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先に確認：指数分布積率母関数（MGF）

ひとことで言うと

「指数分布的な待ち時間がk回続けて起こるまでの、合計の待ち時間」を表す連続分布です。指数分布（1回分の待ち時間）をk回分足し合わせたものと考えられます。

こんなデータが従う

k回目の事故が起きるまでの累積時間保険金支払いがk件発生するまでの合計待ち時間設備がk回故障するまでの累積稼働時間k人来店するまでの時間複数の保険金支払額の合計（形状パラメータが整数でなくても近似に使われる）

独立な指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ を $k$ 個足すと、ガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(k,\lambda)$ になります（kが整数のときアーラン分布とも呼ばれる）。

横軸は $x\ (\ge 0)$

数式で表すと

E[X]=k/\lambda,\ V[X]=k/\lambda^2

独立な指数分布 $k$

表記には複数の流儀があり、ガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(k,\lambda)$ のように形状パラメータ k（指数分布を何個足すか）と率パラメータ λ（1個あたりの率）で表すのがacpassでの基本形です。別の教科書では尺度パラメータ $\theta=1/\lambda$ を使う流儀もあるため、問題文の記法を必ず確認します。

k=1のときは指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ と完全に一致します。つまり指数分布はガンマ分布の特別な場合です。

なぜ「k個の指数分布の和」がこの形になるのか。指数分布は1回分の待ち時間なので、k回分を順に待つ合計時間がガンマ分布、という直感です（ポアソン過程でk件目が到着するまでの時間、と言い換えられます）。

試験に出る性質

平均と分散

$E[X]=k/\lambda,\ V[X]=k/\lambda^2$ 。

指数分布との関係

例で見る

1時間あたり平均1件（λ=1）の事故が起きるとき、3件目の事故が起きるまでの待ち時間の平均は

$E[X]=k/\lambda=3/1=3$ 時間。

つまずきポイント

教科書ごとに異なるパラメータ化（率λ vs 尺度θ=1/λ）を混同する
k=1で指数分布に一致することを忘れ、無関係な分布として覚える
指数分布の無記憶性を、k≠1のガンマ分布にもそのまま当てはめてしまう

定着クイズ

ガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(k,\lambda)$ の平均は？

ガンマ分布で k=1 のときに一致する分布は？

独立なガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(2,\lambda)$ とガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(3,\lambda)$ （λ共通）の和は？

関連：指数分布ポアソン過程 χ²分布

この用語を扱う問題（4）

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