ベータ分布

区間 $(0,1)$ 上の連続分布 $\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$。比率・確率のモデルやベイズの共役事前に使う。

平均と分散は $E[X]=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta},\quad V[X]=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ です。平均は「成功っぽさ $\alpha$ が全体 $\alpha+\beta$ に占める割合」という分かりやすい形をしています。$\alpha+\beta$ が大きいほど分散は小さくなり、$(0,1)$ のどこかに鋭く集中します（証拠が多いほど位置が定まる、というイメージ）。

特別な場合として、$\alpha=\beta=1$ のとき密度が定数 $1$ になり、ちょうど区間 $(0,1)$ の一様分布 $U(0,1)$ に一致します。ベータ分布は一様分布を含む、より広い"$(0,1)$ 上の分布の族"だと言えます。なおベイズ統計では、二項分布の成功確率 $p$ の事前分布にベータ分布を使うと、データを観たあとの事後分布もまたベータ分布になる（共役事前分布）という便利な性質があります。ただし数学の試験での比重は小さいので、まずは「比率 $p$ のモデルとして $(0,1)$ に住む柔軟な分布」という直感を押さえれば十分です。

$E[p]=\dfrac{2}{2+3}=0.4$。

$\alpha=\beta=1$ なら ベータ分布 $\mathrm{Beta}(1,1)=U(0,1)$ で、$p$ は0〜1のどこも等しく起こり得る。