順序統計量

標本を小さい順に並べた $X_{(1)}\le\dots\le X_{(n)}$。最大値は「全部が $t$ 以下」、最小値は「全部が $t$ より大きい」と読み替えると、独立性から積で書ける。

最大値 $X_{(n)}$ がある値x以下になるのは、n個全部がx以下のときだけなので $P(X_{(n)}\le x)=P(\text{全てのX}_i\le x)=[F(x)]^n$ と、独立性から各 $F(x)$ をn回掛けるだけで求まります。

最小値はこの逆を考えます。最小値がxより大きいのは、n個全部がxより大きいときだけなので $P(X_{(1)}>x)=[1-F(x)]^n$、よって $P(X_{(1)}\le x)=1-[1-F(x)]^n$ です。「以下」と「より大きい」の向きを反転させる点が、最大値の式との一番の違いです。

▶ 最大値について

最大値 $X_{(n)}=\max(X_1,\dots,X_n)$ の分布は、順序統計量の一般論で $F_{(n)}(t)=[F(t)]^n$ と与えられます。理由は明快で、『最大値が $t$ 以下』$\iff$『全員が $t$ 以下』であり、独立同分布なら各々が $t$ 以下になる確率 $F(t)$ の積で $F(t)^n$ になるからです。ここではこの分布関数を出発点に、密度の導出と一様分布での具体計算まで踏み込みます。

密度は分布関数を $t$ で微分して得ます。$F_{(n)}(t)=F(t)^n$ を合成関数の微分で $t$ について微分すると、 $f_{(n)}(t)=\dfrac{d}{dt}[F(t)]^n=n[F(t)]^{n-1}f(t)$ となります（外側の微分 $n[F(t)]^{n-1}$ に、内側の $F'(t)=f(t)$ が掛かる）。直感的には、最大値がちょうど $t$ 付近にあるのは『誰か1人が $t$ 付近にいて（$f(t)$）、残り $n-1$ 人は全員 $t$ 以下にいる（$[F(t)]^{n-1}$）』状況で、その人の選び方が $n$ 通りある、と読めます。

一様分布 $U(0,1)$ で具体化しましょう。$F(t)=t,\ f(t)=1$（$0<t<1$）なので、最大値の密度は $f_{(n)}(t)=n\,t^{n-1}$ です。これは ベータ分布 $\mathrm{Beta}(n,1)$ 分布の密度に一致します。期待値は $E[X_{(n)}]=\int_0^1 t\cdot n t^{n-1}\,dt=n\int_0^1 t^{n}\,dt=\dfrac{n}{n+1}$ となり、有名な結果 $E=n/(n+1)$ が出ます。$n$ が大きいほど $n/(n+1)$ は1に近づき、最大値が支持の上限1へ張り付いていくことが式からも読み取れます。保険の文脈では、$n$ 件の独立な保険金請求のうち最大の請求額の振る舞いがこれにあたり、契約件数 $n$ が増えるほど『最大級の損害』が分布の上限近くまで伸びていく——再保険や巨大リスクの評価で効いてくる直感です。分散は $V[X_{(n)}]=\dfrac{n}{(n+1)^2(n+2)}$ で、$n$ が増えると上限付近に密集して分散は小さくなります。

▶ 最大値：$U(0,1)$ から $n=5$ 個取った最大値。密度 $f_{(5)}(t)=5t^4$（$0<t<1$）。

$E[\max]=\int_0^1 t\cdot5t^4\,dt=5\int_0^1 t^5\,dt=5/6\approx0.8333$（公式 $n/(n+1)=5/6$ と一致）。

最大値は ベータ分布 $\mathrm{Beta}(5,1)$ に従い、分散 $=\dfrac{n}{(n+1)^2(n+2)}=\dfrac{5}{36\times7}=\dfrac{5}{252}\approx0.0198$。