順序統計量

最小値の分布

$F_{X_{(1)}}(x)=1-[1-F(x)]^n$。

一般のk番目の密度

$f_{(k)}(x)=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x)]^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}f(x)$。

指数分布の最小値の特例

独立な 指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ をn個とったときの最小値は 指数分布 $\mathrm{Exp}(n\lambda)$（指数分布の最小値の競合と同じ事実）。

範囲（レンジ）

$R=X_{(n)}-X_{(1)}$（最大値と最小値の差）。

ベータ分布との対応（一様分布）

一様分布$U(0,1)$からのn個の標本のk番目の順序統計量$X_{(k)}$は、ベータ分布$\mathrm{Beta}(k,n-k+1)$に従う。期待値$E[X_{(k)}]=\dfrac{k}{n+1}$、分散$V[X_{(k)}]=\dfrac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}$。

2つの順序統計量の共分散・相関（一様分布）

k<lのとき、$\mathrm{Cov}(X_{(k)},X_{(l)})=\dfrac{k(n-l+1)}{(n+1)^2(n+2)}$、相関係数$\rho(X_{(k)},X_{(l)})=\sqrt{\dfrac{k(n-l+1)}{l(n-k+1)}}$。2022年度は一様分布のこの共分散・相関係数を求める大問で出題された。