変数変換

$Y=g(X)$ の密度を求める公式。$g$ が単調なときに使え、微分の絶対値は $x$ 方向の微小幅が $y$ 方向で何倍に伸びるかを表す。単調でなければ分布関数法で場合分けする。

②ヤコビアン法：g が単調なら、上の手順を1つの公式にまとめたものが $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,\left|\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$ です。絶対値が付くのは、g が減少関数でも密度（必ず正の量）を保つため。右側の微分項は、x方向の微小幅がy方向では何倍に伸び縮みするかを表す「変換による幅の比率」です。

どちらも同じ答えに到達しますが、g が複雑なときはヤコビアン法が速く、g が単調でない（例: $Y=X^2$ で X が正負両方を取りうる）ときは分布関数法で場合分けする方が安全です。

$f_Y(y)=f_X(e^{-y})\,|-e^{-y}|=1\times e^{-y}=e^{-y}\ (y>0)$

これは 指数分布 $\mathrm{Exp}(1)$ の密度。実はこの変換が、$U(0,1)$ の乱数から指数分布の乱数を作る逆関数法そのものです。