変数変換

確率・公式

ひとことで言うと

「確率変数Xの分布が分かっているとき、Yをそれの式で変換した新しい変数Y=g(X)の分布を求める」手法です。例えば身長Xの分布から、身長の2乗Yの分布を求める、といった場面で使います。

x軸上の微小区間 $[x,x+dx]$ が、変換 $y=g(x)$ を通してy軸上の微小区間 $[y,y+dy]$ に対応する。この対応関係の「伸び縮みの比率」がヤコビアン。

数式で表すと

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,\big|\tfrac{d}{dy}g^{-1}(y)\big|$

求め方は大きく2つあります。 ①分布関数法：まず

Y=g(X)

の累積分布関数

F_Y(y)=P(Y\le y)

を、g の逆関数を使って

P(X\le g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y))

のように書き換え、最後に微分して密度

f_Y(y)

を得ます。 ②ヤコビアン法：g が単調なら、上の手順を1つの公式にまとめたものが

f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,\left|\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|

です。絶対値が付くのは、g が減少関数でも密度（必ず正の量）を保つため。右側の微分項は、x方向の微小幅がy方向では何倍に伸び縮みするかを表す「変換による幅の比率」です。どちらも同じ答えに到達しますが、g が複雑なときはヤコビアン法が速く、g が単調でない（例:

Y=X^2

で X が正負両方を取りうる）ときは分布関数法で場合分けする方が安全です。

試験に出る性質

ヤコビアン法の公式

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dg^{-1}(y)/dy|$ 。絶対値を忘れずに付ける。

単調増加なら符号の心配なし

gが単調増加なら $g^{-1}$ も単調増加なので絶対値は常に正のまま外せる。

線形変換の特別な場合

$Y=aX+b\ (a\ne 0)$ なら $f_Y(y)=\dfrac{1}{|a|}f_X\!\left(\dfrac{y-b}{a}\right)$ 。

非単調なgは場合分け

$Y=X^2$ のように1つのyに対しxが複数対応する場合は、分布関数法でそれぞれの場合を足し合わせる。

例で見る

$X\sim U(0,1)$ のとき $Y=-\ln X$ の分布を求める。 $g(x)=-\ln x$ は単調減少で、逆関数は $x=g^{-1}(y)=e^{-y}$ 、 $dg^{-1}/dy=-e^{-y}$ 。 $f_Y(y)=f_X(e^{-y})\,|-e^{-y}|=1\times e^{-y}=e^{-y}\ (y>0)$ これは $Exp(1)$ の密度。実はこの変換が、 $U(0,1)$ の乱数から指数分布の乱数を作る逆関数法そのものです。

つまずきポイント

ヤコビアン項の絶対値を付け忘れる（gが減少関数だと密度が負になってしまう）
gが単調でない（例: $Y=X^2$ ）のに、単調関数用の公式をそのまま使ってしまう
$g^{-1}$ を求める際にXとYを取り違える

定着クイズ

ヤコビアン法の公式で絶対値を付けるのはなぜ？

$Y=aX+b\ (a\ne0)$ のとき $f_Y(y)$ は？

$Y=X^2$ のように1つのyに複数のxが対応する変換を扱うのに適した方法は？

関連：#ヤコビアン #逆関数法 #対数正規分布 #順序統計量

この用語を扱う問題（4）