逆関数法

モデリング・公式・モンテカルロ法

先に確認：変数変換

ひとことで言うと

一様分布U(0,1)からの乱数Uに、目的の分布の累積分布関数（CDF）の逆関数を適用すると、目的の分布に従う乱数を生成できるという方法です。

指数分布に従う乱数の生成保険のシミュレーションで損害額の乱数を発生させるモンテカルロ法でのシミュレーション乱数生成ロジスティック分布など解析的に逆関数が求まる分布の乱数生成離散分布（カテゴリカル分布）の乱数生成への応用

コンピュータが直接生成できるのは一様分布の乱数Uだけなので、それを目的の分布に変換するための基本的な手法です。

累積分布関数F(x)のグラフ上で、一様乱数U=0.7に対応するxの値を逆関数X=F⁻¹(U)で求める。

X=F^{-1}(U),\ \text{Exp}:X=-\tfrac1\lambda\ln(1-U)

逆関数法は、目的の分布の累積分布関数（CDF）を $F(x)$ とするとき、一様分布 $U\sim U(0,1)$ からの乱数Uに対して $X=F^{-1}(U)$

原理

$X=F^{-1}(U),\ U\sim U(0,1)$ のとき、Xは累積分布関数Fに従う。

根拠

確率積分変換

レートλ=2の指数分布から乱数を生成する場合、U=0.7のとき $X=-\ln(1-0.7)/2=-\ln(0.3)/2\approx0.602$ 。

逆関数法をどんな分布にも使える万能な方法だと誤解する（逆関数が解析的に求まらない場合は別の手法が必要）
F⁻¹(u)の式でu=0やu=1付近の境界の扱い（対数が発散する等）を見落とす
生成されるXの分布をUの分布（一様分布）と取り違える（Xは目的の分布に従う、Uが一様分布）
「解析的な逆関数が求まらない分布には使えない」と決めつけない。正規分布のように閉じた式の逆関数がなくても、実務・試験では標準正規の分布関数表（付表）を用いた数値的な逆関数法で乱数を生成することがある（H29年度で出題）。

逆関数法の基本原理は？

レートλ=4の指数分布でU=0.5のとき生成されるXは？

逆関数法が直接使えるのはどのような分布か？