中央値

具体的に指数分布 $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)$（平均 $1/\lambda=10$）で中央値を求めます。累積分布関数は $F(x)=1-e^{-0.1x}$ なので、$F(m)=0.5$ を解いて $1-e^{-0.1m}=0.5\ \Rightarrow\ e^{-0.1m}=0.5\ \Rightarrow\ -0.1m=\ln(0.5)\ \Rightarrow\ m=\dfrac{\ln 2}{0.1}\approx6.93$ となります。中央値は約 $6.93$ です。ここで注目したいのは、中央値 $6.93$ が平均 $10$ より小さいことです。これは偶然ではなく、指数分布のように右に裾が長い（右に歪んだ）分布で典型的に起こるパターンです。右の長い裾にある大きな値が平均を引き上げる一方、中央値は順位で真ん中を見るだけなので裾の影響を受けにくく、結果として中央値 $<$ 平均となります。

この「右歪みでは中央値 $<$ 平均」という関係は、外れ値や歪みに対する頑健さの観点で実務的に重要です。中央値は極端な大きい値に引きずられにくいので、所得や保険のクレーム額のように右に大きく歪んだデータでは、平均より中央値の方が「代表的な値」をよく表すことがあります。なお、対数正規分布のような右に歪んだ分布でも同様に中央値 $<$ 平均となりますが（一般的な右歪み分布の一例として挙げるにとどめます）、本質は分布の歪みと、平均・中央値それぞれが歪みをどう受けるかの違いにあります。

$e^{-0.1m}=0.5\Rightarrow m=\ln 2/0.1\approx6.93$。

中央値 $\approx6.93$ は平均 $10$ より小さい（右に歪んだ分布では中央値 $<$ 平均の典型）。