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中央値

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確率・用語

ひとことで言うと

中央値は「分布をちょうど半分に分ける点」、つまり累積分布関数が 0.50.5 になる値です。逆関数法の言葉で言えば、一様乱数 U=0.5U=0.5 に対応する値 F−1(0.5)F^{-1}(0.5) そのもの。右に歪んだ分布では、平均より中央値の方が小さくなります。

指数分布Exp(λ=0.1)の累積分布関数F(x)=1-e^{-0.1x}のS字曲線。F(m)=0.5を満たす点が中央値m=ln(2)/0.1≈6.93で、これは逆関数法でU=0.5に対応する値F^{-1}(0.5)そのもの。右に歪んだ分布では中央値6.93が平均10より小さくなる典型を示す中央値はF(m)=0.5を満たすm＝F⁻¹(0.5)。右歪み分布では中央値<平均0.51m≈6.93平均10F(x)x

指数分布 Exp(λ=0.1)\mathrm{Exp}(\lambda=0.1) の累積分布関数 F(x)=1−e−0.1xF(x)=1-e^{-0.1x}。F(m)=0.5F(m)=0.5 を満たす点が中央値 m=ln⁡2/0.1≈6.93m=\ln 2/0.1\approx6.93 で、これは逆関数法で U=0.5U=0.5 に対応する F−1(0.5)F^{-1}(0.5) そのもの。右に歪んだ分布なので中央値 6.936.93 は平均 1010 より小さい。

数式で表すと

F(m)=0.5F(m)=0.5

分布関数が 0.50.5 となる点。逆関数法で U=0.5U=0.5 が対応する値。

中央値（median）mm は、分布をちょうど半分に分ける点で、累積分布関数（concept: 累積分布関数）が 0.50.5 になる値として定義されます：F(m)=0.5F(m)=0.5。逆関数で書けば m=F−1(0.5)m=F^{-1}(0.5) で、これは concept: 逆関数法との直接的なつながりです。逆関数法は「一様乱数 U∼Unif(0,1)U\sim\mathrm{Unif}(0,1) に対して X=F−1(U)X=F^{-1}(U) とすれば XX が目的の分布に従う」サンプリング手法でしたが、中央値はその特別な場合、すなわち U=0.5U=0.5 を入れたときの値 F−1(0.5)F^{-1}(0.5) にほかなりません。 具体的に指数分布 X∼Exp(λ=0.1)X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)（平均 1/λ=101/\lambda=10）で中央値を求めます。F(x)=1−e−0.1xF(x)=1-e^{-0.1x} より F(m)=0.5F(m)=0.5 を解いて 1−e−0.1m=0.5 ⇒ e−0.1m=0.5 ⇒ m=ln⁡20.1≈6.931-e^{-0.1m}=0.5\ \Rightarrow\ e^{-0.1m}=0.5\ \Rightarrow\ m=\dfrac{\ln 2}{0.1}\approx6.93 です。中央値 ≈6.93\approx6.93 は平均 1010 より小さい点に注目してください。これは偶然ではなく、指数分布のように右に裾が長い（右に歪んだ）分布で典型的に起こるパターンです。右の長い裾にある大きな値が平均を引き上げる一方、中央値は順位で真ん中を見るだけなので裾の影響を受けにくく、結果として中央値 << 平均となります。 この「右歪みでは中央値 << 平均」という関係は、外れ値に対する頑健さの観点で実務的に重要です。所得や保険のクレーム額のように右に大きく歪んだデータでは、平均より中央値の方が「代表的な値」をよく表すことがあります。中央値のデータでの定義（奇数個なら第 m+1m+1 番目の値、偶数個なら第 m,m+1m,m+1 番目の平均）は concept: 中央値（データ）で扱いましたが、ここでは母集団の連続分布での定義 F(m)=0.5F(m)=0.5 と逆関数法との関係を中心に整理しました。

試験に出る性質

定義

F(m)=0.5F(m)=0.5 を満たす点 mm。分布を確率で半分に分ける値。

逆関数法との関係

m=F−1(0.5)m=F^{-1}(0.5)。逆関数法（concept: 逆関数法）で U=0.5U=0.5 を入れたときの値そのもの。

指数分布の中央値

F(x)=1−e−λxF(x)=1-e^{-\lambda x} より m=ln⁡2/λm=\ln 2/\lambda。λ=0.1\lambda=0.1 なら m≈6.93m\approx6.93。

右歪みでは中央値 $<$ 平均

右に裾が長い分布では大きな値が平均を引き上げ、中央値より平均が大きくなる（例：6.93<106.93<10）。

外れ値に頑健

中央値は順位で決まり極端な大きい値に引きずられにくい。所得・クレーム額など右歪みデータの代表値に向く。

例で見る

X∼Exp(λ=0.1)X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)（平均 =10=10）。F(m)=1−e−0.1m=0.5F(m)=1-e^{-0.1m}=0.5 を解くと e−0.1m=0.5⇒m=ln⁡2/0.1≈6.93e^{-0.1m}=0.5\Rightarrow m=\ln 2/0.1\approx6.93。 中央値 ≈6.93\approx6.93 は平均 1010 より小さい（右に歪んだ分布では中央値 << 平均の典型）。

つまずきポイント

  • 中央値と平均をいつも同じだと思う（左右対称分布なら一致するが、右歪みでは中央値 << 平均。例では 6.93≠106.93\ne10）
  • F(m)=0.5F(m)=0.5 の左辺を密度 ff と取り違える（中央値は累積分布関数 FF（面積）が 0.50.5 になる点。密度の値ではない）
  • m=F−1(0.5)m=F^{-1}(0.5) の対数計算で符号を誤る（e−0.1m=0.5e^{-0.1m}=0.5 から m=ln⁡2/0.1m=\ln 2/0.1。ln⁡(0.5)=−ln⁡2\ln(0.5)=-\ln 2 の符号に注意）

定着クイズ

中央値 mm の定義は？

X∼Exp(λ=0.1)X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1) の中央値は？

右に歪んだ分布での中央値と平均の関係は？

関連：#逆関数法#対数正規分布

この用語を扱う問題（1）