免責

ここで 無記憶性が威力を発揮します。クレーム額が指数分布 $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ のとき、無記憶性とは「すでに $d$ を超えたという情報があっても、そこからさらにどれだけ伸びるか（$X-d$）の分布は、最初の $X$ の分布とまったく同じ」という性質でした。式にすると $E[X-d\mid X>d]=E[X]$ です。つまり「免責を超えた分の期待値」は「ゼロからの期待値」と同じになり、$d$ の大きさに依存しません。これは指数分布だけがもつ特別な簡略化で、計算を一気に楽にしてくれます。

具体的に計算します。平均クレーム額が $1/\lambda=10$ となる $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)$、免責額 $d=5$ とします。まず免責を超える確率は、指数分布の生存関数から $P(X>5)=e^{-0.1\times5}=e^{-0.5}\approx0.6065$ です。次に超過分の条件付き期待値は、無記憶性により $E[X-5\mid X>5]=E[X]=10$ です。したがって期待支払額は $E[Y]=0.6065\times10\approx6.065$ となります。免責なし（$d=0$）なら期待支払額は平均クレーム額の $10$ ですが、免責 $d=5$ を入れたことで $6.065$ まで下がりました。免責は、保険会社の期待支払額を引き下げる（保険料を抑える、少額クレームの事務コストを避ける）ための代表的な道具だと分かります。

$P(X>5)=e^{-0.1\times5}=e^{-0.5}\approx0.6065$。無記憶性より $E[X-5\mid X>5]=E[X]=10$。

よって $E[Y]=0.6065\times10\approx6.065$。免責なしの期待支払額 $10$ より小さくなる。