免責

確率・用語

ひとことで言うと

免責（deductible）は「クレーム額 $X$ のうち、一定額 $d$ までは契約者が自己負担し、超えた分だけ保険会社が支払う」しくみです。支払額は $Y=\max(X-d,0)$ 。クレーム額が指数分布なら、無記憶性のおかげで期待支払額がとても簡単に計算できます。

クレーム額 $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)$ の密度。免責額 $d=5$ の縦線より左（ $X\le d$ ）は支払い対象外、右の斜線領域が $X>d$ で生じる支払い分。指数分布の無記憶性により、超過分の条件付き期待値 $E[X-d\mid X>d]$ は最初からの期待値 $E[X]=10$ に等しくなる。

数式で表すと

$E[Y]=P(X>d)\,E[X-d\mid X>d]$

免責額 $d$ の保険で支払額 $Y=\max(X-d,0)$ 。指数では無記憶性で期待値が簡単に出る。

免責（deductible）とは、損害保険でよく使われるしくみで、クレーム額

X

のうち免責額

d

までは契約者の自己負担とし、それを超えた分だけを保険会社が支払う取り決めです。保険会社の支払額

Y=\max(X-d,0)

の期待値は

E[Y]=P(X>d)\cdot E[X-d\mid X>d]

と分解できます（「超える確率」×「超えたときの平均超過額」）。ここで concept: 無記憶性が威力を発揮します。クレーム額が指数分布

X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)

のとき、無記憶性により

E[X-d\mid X>d]=E[X]

です。「免責を超えた分の期待値」は「ゼロからの期待値」と同じで、

d

の大きさに依存しません。これは指数分布だけがもつ特別な簡略化です。具体例：

X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)

（平均

E[X]=10

）、免責額

d=5

。

P(X>5)=e^{-0.1\times5}=e^{-0.5}\approx0.6065

E[X-5\mid X>5]=E[X]=10

（無記憶性）

E[Y]=0.6065\times10\approx6.065

免責なし（

d=0

）の期待支払額

10

より下がり、免責は保険会社の期待支払額を引き下げる（保険料を抑える、少額クレームの事務コストを避ける）道具として機能します。

試験に出る性質

支払額の定義

$Y=\max(X-d,0)$ 。クレーム $X$ が免責 $d$ 以下なら支払いなし、超えたら超過分だけ支払う。

期待支払額の分解

$E[Y]=P(X>d)\cdot E[X-d\mid X>d]$ 。「超える確率」×「超えたときの平均超過額」。

無記憶性による簡略化

指数分布なら $E[X-d\mid X>d]=E[X]$ （concept: 無記憶性）。超過分の期待値は $d$ に依存せず $E[X]$ に等しい。

超過確率

指数分布では $P(X>d)=e^{-\lambda d}$ （生存関数）。免責が大きいほど支払い発生確率は小さくなる。

免責の効果

期待支払額は免責なしの $E[X]$ より小さくなる。例では $10\to6.065$ 。保険料抑制・少額クレーム回避に使う。

例で見る

クレーム額 $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)$ （平均 $1/\lambda=10$ ）、免責額 $d=5$ 。 $P(X>5)=e^{-0.5}\approx0.6065$ 。無記憶性より $E[X-5\mid X>5]=10$ 。よって $E[Y]=0.6065\times10\approx6.065$ 。免責なしの期待支払額 $10$ より小さくなる。

つまずきポイント

$E[X-d\mid X>d]=E[X]$ がどんな分布でも成り立つと思う（これは指数分布の無記憶性ゆえ。一般の分布では成り立たない）
期待支払額に $P(X>d)$ を掛け忘れる（支払いが起きるのは $X>d$ のときだけ。超過分の平均だけでは過大評価になる）
支払額 $Y$ を $X-d$ とだけ書いて負を許す（正しくは $\max(X-d,0)$ 。 $X\le d$ では支払い0でマイナスにはならない）

定着クイズ

免責額 $d$ の保険での支払額 $Y$ の式は？

$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=0.1)$ 、 $d=5$ のとき $P(X>5)$ は？

指数分布で $E[X-d\mid X>d]$ が $E[X]$ に等しくなる理由は？