acpass

ハザード

知識マップ

確率・用語

ひとことで言うと

ハザード（瞬間故障率）は、「いままで生き延びてきたものが、まさに今この瞬間に故障・死亡する勢い」を表す関数です。生命保険でいう死力 μx\mu_x とまったく同じ概念で、年齢が上がるほど大きくなるのが現実です。指数分布だけが特別に「一定」という性質をもちます。

ハザード関数h(t)を2例重ねた図。指数分布のハザードは時間tによらず一定λ=0.1の水平線（緑）。一方、増加型ハザードh(t)=0.02tは右上がりの直線（赤破線）で、高齢になるほど瞬間故障率が上がる現実の死亡率に近い。ハザードは生命保険数理の死力μ_xと同じ概念ハザード＝瞬間故障率＝死力μ_x。指数は一定、現実は増加型が普通一定 h=λ=0.1（指数）増加型 h(t)=0.02th(t)時間 t

ハザード関数 h(t)h(t) の2例。指数分布のハザードは時間によらず一定 λ=0.1\lambda=0.1（緑の水平線）。一方、増加型 h(t)=0.02th(t)=0.02t（赤破線）は右上がりで、高齢になるほど死亡率が上がる現実の死亡率に近い。ハザードは生命保険数理の死力 μx\mu_x と同じ概念。

数式で表すと

h(t)=f(t)1−F(t)h(t)=\dfrac{f(t)}{1-F(t)}

瞬間故障率 h(t)=f(t)/(1−F(t))h(t)=f(t)/(1-F(t))。指数分布では一定 λ\lambda。

ハザード関数（瞬間故障率）h(t)h(t) は、「時刻 tt まで故障・死亡せずに生き延びてきたものが、その直後の微小時間で故障・死亡する条件付きの勢い」を表します。定義式は密度 f(t)f(t) と生存関数 S(t)=1−F(t)S(t)=1-F(t) を使って h(t)=f(t)1−F(t)=f(t)S(t)h(t)=\dfrac{f(t)}{1-F(t)}=\dfrac{f(t)}{S(t)} です。分子の f(t)f(t) は「全体の中でちょうど tt で起きる勢い」、分母の S(t)S(t) は「tt まで生き残っている割合」なので、その比は「生き残った者の中での」率になります。アクチュアリーにとって重要なのは、これが生命保険数理の死力 μx\mu_x（年齢 xx の人の瞬間死亡率）とまったく同じ概念だという点です。 ハザードは時間とともに変化するのが普通です。増加型ハザードは時間が経つほど h(t)h(t) が大きくなるもので、高齢になるほど死亡率が上がる現実の人間の死亡率はこの型です。例として h(t)=0.02th(t)=0.02t（時間に比例して線形に増加）を考えます。一方で一定ハザードは時間によらず h(t)=λh(t)=\lambda の特別な場合で、これは指数分布（concept: 指数分布）に対応します。指数分布のハザードが一定であることと無記憶性（concept: 無記憶性）は同値で、「過去にどれだけ生き延びても、これから先の故障の勢いは変わらない」という性質です。 ハザードと生存関数は累積ハザード H(t)=∫0th(s) dsH(t)=\int_0^t h(s)\,ds を介して結びつきます。 S(t)=exp⁡ ⁣(−∫0th(s) ds)S(t)=\exp\!\Big(-\int_0^t h(s)\,ds\Big) 一定ハザード（λ=0.1\lambda=0.1）なら ∫0t0.1 ds=0.1t\int_0^t 0.1\,ds=0.1t なので S(t)=e−0.1tS(t)=e^{-0.1t}（指数分布の生存関数）。増加型の例 h(t)=0.02th(t)=0.02t では ∫0t0.02s ds=0.01t2\int_0^t 0.02s\,ds=0.01t^2 なので S(t)=e−0.01t2S(t)=e^{-0.01t^2}。ハザードが増える分だけ生存確率は速く減ります。

試験に出る性質

定義

h(t)=f(t)/(1−F(t))=f(t)/S(t)h(t)=f(t)/(1-F(t))=f(t)/S(t)。生き残った者の中での瞬間故障・死亡率。

死力との同一性

生命保険数理の死力 μx\mu_x とまったく同じ概念。記号・分野が違うだけで中身は同一。

一定ハザード＝指数

h(t)=λh(t)=\lambda（一定）は指数分布（concept: 指数分布）に対応。無記憶性（concept: 無記憶性）と同値。

増加型が現実的

高齢になるほど死力が上がる現実の死亡率は増加型。例 h(t)=0.02th(t)=0.02t。減少型（初期不良）もある。

累積ハザードと生存関数

S(t)=exp⁡(−∫0th(s) ds)S(t)=\exp(-\int_0^t h(s)\,ds)。ハザードを積み上げて指数の肩に乗せると生存確率になる。

例で見る

一定ハザード（指数, λ=0.1\lambda=0.1）：∫0t0.1 ds=0.1t\int_0^t 0.1\,ds=0.1t より S(t)=e−0.1tS(t)=e^{-0.1t}（指数分布の生存関数に一致）。 増加型ハザードの例 h(t)=0.02th(t)=0.02t：累積ハザード ∫0t0.02s ds=0.01t2\int_0^t 0.02s\,ds=0.01t^2 より S(t)=e−0.01t2S(t)=e^{-0.01t^2}。 ハザードが時間とともに増える分、生存確率はより速く減る。

つまずきポイント

  • ハザード h(t)h(t) を密度 f(t)f(t) そのものと混同する（hh は ff を生存割合 S(t)S(t) で割った「生き残った中での」率）
  • 「ハザードは常に一定」と思い込む（一定は指数分布だけの特別な性質。現実の死亡率は増加型が普通）
  • 生存関数を S(t)=e−h(t)S(t)=e^{-h(t)} と書いてしまう（正しくは累積ハザードを使い S(t)=e−∫0th(s)dsS(t)=e^{-\int_0^t h(s)ds}。瞬間値ではなく積分）

定着クイズ

ハザード関数 h(t)h(t) の定義は？

ハザードが時間によらず一定になる分布は？

増加型ハザード h(t)=0.02th(t)=0.02t に対応する生存関数は？

関連：#指数分布#無記憶性

この用語を扱う問題（1）