ハザード

ハザードは時間とともに変化するのが普通で、その形に名前がついています。増加型ハザードは時間が経つほど $h(t)$ が大きくなるもので、高齢になるほど死亡率が上がる現実の人間の死亡率はこの型です（摩耗・老化のイメージ）。逆に初期不良が落ち着いていく減少型もありますが、生命保険では増加型が基本です。例として $h(t)=0.02t$（時間に比例して線形に増加）を考えると、これは高齢ほど死力が上がる状況の単純化になっています。一方で一定ハザードは時間によらず $h(t)=\lambda$ の特別な場合で、これは指数分布に対応します。指数分布のハザードが一定であることと無記憶性は同値で、「過去にどれだけ生き延びても、これから先の故障の勢いは変わらない」という、人間の死亡率とはむしろ異質な性質です。

ハザードと生存関数は、累積ハザード $H(t)=\int_0^t h(s)\,ds$ を介して結びつきます。一般に $S(t)=\exp\!\Big(-\int_0^t h(s)\,ds\Big)$ が成り立ち、ハザードを積み上げて指数の肩に乗せると生存確率が得られます。確認しましょう。一定ハザード（指数分布、$\lambda=0.1$）なら $\int_0^t 0.1\,ds=0.1t$ なので $S(t)=e^{-0.1t}$ となり、たしかに指数分布の生存関数に一致します。増加型の例 $h(t)=0.02t$ では、累積ハザードが $\int_0^t 0.02s\,ds=0.01t^2$ なので $S(t)=e^{-0.01t^2}$ です。ハザードが時間とともに増える分だけ生存確率は速く減っていく、という対応がこの式から読み取れます。なお $h(t)=0.02t$ は説明用の一般的な数学的例であって、特定の名前付き分布だと断定するものではありません。

死力との同一性

生命保険数理の死力 $\mu_x$ とまったく同じ概念。記号・分野が違うだけで中身は同一。

増加型ハザードの例 $h(t)=0.02t$：累積ハザード $\int_0^t 0.02s\,ds=0.01t^2$ より $S(t)=e^{-0.01t^2}$。

ハザードが時間とともに増える分、生存確率はより速く減る。