対数正規分布

対数をとると正規分布になる正の連続分布。$X=e^{Y},\ Y\sim N(\mu,\sigma^2)$。保険金額のモデルに頻出。

$X$ 側の代表値は次のようになります。指数関数は単調増加なので順位を保ち、$Y$ の中央値 $\mu$ がそのまま $X$ の中央値 $e^{\mu}$ に対応します（中央値 $=e^{\mu}$）。一方、平均は $E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}$ で、$\sigma^2/2$ のぶんだけ中央値より大きくなります。最頻値（モード、密度が最大の点）は $e^{\mu-\sigma^2}$ で、これは中央値より小さくなります。まとめると $\text{最頻値}=e^{\mu-\sigma^2}<\text{中央値}=e^{\mu}<\text{平均}=e^{\mu+\sigma^2/2}$ という最頻値 $<$ 中央値 $<$ 平均の順序になり、これが右に歪んだ分布の典型的な並びです。分散は $V[X]=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$ で、$\sigma$ が大きいほど裾が急激に重くなります。

ここで 正規分布との決定的な違いを押さえます。正規分布は再生性をもち、独立な正規分布の和もまた正規分布でした。ところが対数正規分布は和に関する再生性をもちません。2つの独立な対数正規分布を足しても、その和は対数正規分布にはならないのです（一方、正規が和で閉じているのは $Y$ 側の話で、$X=e^Y$ 側では積が対数正規で閉じる——対数をとると和になるため——という対応になります）。つまり対数正規の自然な演算は和ではなく積です。保険でいえば、独立な複数クレーム額を対数正規でモデル化したとき、その合計額は対数正規にならないので、合計の分布を扱うには近似やシミュレーションが必要になります。実務では損害額1件あたりの分布として対数正規が選ばれることが多く、この和で閉じないという性質は集計時の注意点として頻出します。

最頻値 $=e^{0-1}=e^{-1}\approx0.3679$。順序は $0.368<1<1.6487$（最頻値 $<$ 中央値 $<$ 平均）。

分散 $=e^{0+1}(e^{1}-1)=e(e-1)\approx4.671$。$\sigma=1$ でも平均より分散が大きく、裾の重さが見て取れる。