対数正規分布

確率・用語

ひとことで言うと

対数正規分布は「対数をとると正規分布になる」正の値だけをとる分布です。 $X=e^{Y}$ （ $Y$ が正規）という形なので、小さい値に多く、右に長い裾を引きます。保険金額や損害額のように『ほとんどは小さいが、ときどき桁違いに大きい』データのモデルにぴったりです。

こんなデータが従う

1件あたりの保険金（クレーム）支払額自動車事故1件あたりの損害額ある資産の将来価格（株価のモデル）世帯ごとの所得や資産額ある部品が壊れるまでの寿命時間

「正の値しか取らず、対数をとると左右対称（正規）になる、右に長い裾をもつ」データに当てはまります。多数の小さな要因が掛け算で積み重なる量（金額・価格・寿命）に自然に現れ、保険金額モデルの定番です。

対数正規分布 $(\mu=0,\sigma=1)$ の密度。右に長い裾をもち、最頻値 $\approx0.368$ ＜中央値 $=1$ ＜平均 $\approx1.649$ の順に並ぶ。多数の小さな要因が掛け算で積み重なる金額・損害額のモデルに頻出。

数式で表すと

$E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2},\ \text{中央値}=e^{\mu}$

対数をとると正規分布になる正の連続分布。 $X=e^{Y},\ Y\sim N(\mu,\sigma^2)$ 。保険金額のモデルに頻出。

対数正規分布とは、確率変数

X

の対数

Y=\ln X

が正規分布に従う分布、すなわち

Y\sim N(\mu,\sigma^2)

のときの

X=e^{Y}

の分布です。

X=e^{Y}

は常に正なので、

X

は正の値だけをとり、形は右に長い裾を引いた非対称になります。パラメータ

\mu,\sigma

は『対数をとった後の世界（

Y

の世界）』の平均と標準偏差であって、

X

そのものの平均・中央値ではありません。

X

側の代表値は次のようになります。指数関数は単調増加なので順位を保ち、

Y

の中央値

\mu

がそのまま

X

の中央値

e^{\mu}

に対応します。一方、平均は

E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}

で、

\sigma^2/2

のぶんだけ中央値より大きくなります。最頻値（密度が最大の点）は

e^{\mu-\sigma^2}

で、中央値より小さくなります。まとめると

\text{最頻値}=e^{\mu-\sigma^2}<\text{中央値}=e^{\mu}<\text{平均}=e^{\mu+\sigma^2/2}

という右歪みの典型的な並びになります。分散は

\mathrm{Var}(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)

で、

\sigma

が大きいほど裾が急激に重くなります。 concept: 正規分布との決定的な違いとして、正規分布は『再生性』をもち独立な正規分布の和もまた正規分布でしたが、対数正規分布は和に関する再生性をもちません。2つの独立な対数正規分布を足しても、その和は対数正規分布にはならないのです。対数正規の自然な演算は『和』ではなく『積』です（対数をとると和になるため）。保険でいえば、独立な複数クレーム額を対数正規でモデル化したとき、その合計額の分布を扱うには近似やシミュレーションが必要になります。

試験に出る性質

定義（指数変換）

$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$ のとき $X=e^{Y}$ の分布。 $X>0$ で右に歪む。 $\mu,\sigma$ は対数をとった後の世界のパラメータ。

平均・分散

$E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}$ 、 $\mathrm{Var}(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$ 。 $\sigma$ が大きいほど裾が重い。

中央値・最頻値

中央値 $=e^{\mu}$ （順位保存）、最頻値 $=e^{\mu-\sigma^2}$ 。 $\text{最頻値}<\text{中央値}<\text{平均}$ の順（右歪み）。

和に関する再生性をもたない

正規分布と異なり、独立な対数正規どうしの和は対数正規にならない。閉じるのは『積』の側（対数で和になるため）。

保険でのモデル

クレーム額・損害額など『正で右に裾が長い金額』のモデルに頻出。合計額の分布を出すには近似やシミュレーションが要る。

例で見る

$\mu=0,\ \sigma=1$ とする。中央値 $=e^{0}=1$ 、平均 $=e^{0+0.5}=e^{0.5}\approx1.6487$ 。最頻値 $=e^{0-1}=e^{-1}\approx0.3679$ 。順序は $0.368<1<1.6487$ （最頻値 $<$ 中央値 $<$ 平均）。分散 $=e^{0+1}(e^{1}-1)=e(e-1)\approx4.671$ 。

つまずきポイント

$\mu,\sigma$ を $X$ そのものの平均・標準偏差と取り違える（これらは $\ln X$ の側の値。 $X$ の平均は $e^{\mu+\sigma^2/2}$ ）
平均と中央値を同じだと思う（右歪みなので最頻値 $<$ 中央値 $e^{\mu}$ $<$ 平均 $e^{\mu+\sigma^2/2}$ 。例では $0.368<1<1.6487$ ）
正規分布と同様に和で閉じると思い込む（対数正規は和に関する再生性をもたない。合計額の分布は別途近似/シミュレーションが必要）

定着クイズ

$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$ のとき対数正規分布に従うのは？

$\mu=0,\sigma=1$ の対数正規分布の平均 $E[X]$ は？

対数正規分布の和に関する再生性について正しいのは？