積率母関数（MGF）

確率・用語・期待値・モーメント

ひとことで言うと

確率変数Xのすべての積率（モーメント：平均・分散などの元になる量）を1つの関数にまとめたものです。tで微分してt=0を代入すると、平均・分散などが次々取り出せます。

M(t)のグラフ。t=0で必ずM(0)=1を通り、その点での接線の傾きがE[X]（1次の積率）に等しい。

M(t)=E[e^{tX}],\ E[X^n]=M^{(n)}(0)

定義は $M(t)=E[e^{tX}]$ 。これをtについてn回微分してt=0を代入すると、n次の積率がそのまま出てきます： $M^{(n)}(0)=E[X^n]$

M(0)=1

$M(0)=E[e^{0}]=E[1]=1$ 。すべての積率母関数がt=0で必ず1を通る。

微分でモーメントが出る

$M^{(n)}(0)=E[X^n]$

$X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ の積率母関数は $M(t)=\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\ (t<\lambda)$

積率母関数の定義 $M(t)=E[e^{tX}]$ について、 $M(0)$ の値は？

$M'(0)$ が表すものは？

独立な確率変数X, Yについて、X+Yの積率母関数は？