ポアソン

確率・用語・離散分布

ひとことで言うと

「一定の期間や範囲の中で、めったに起きない出来事が何回起きるか」を表す分布です。回数は 0,1,2,… の整数で、平均回数 λ だけで形が決まります。

1時間の来店客数1日の事故・クレーム件数ページあたりの誤植数一定面積あたりの不良数稀な保険事故の発生件数

「個々の発生確率は小さいが、機会は非常に多い」状況で現れます。二項分布 $\mathrm{B}(n,p)$ で n が大きく p が小さいとき、 $np=\lambda$ を保つとポアソン分布に近づきます（ポアソン近似）。

横軸は件数 $k$ （0,1,2,… の整数）、縦軸は確率 $P(X=k)$

P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!},\ E[X]=V[X]=\lambda

ポアソン分布の最大の特徴は「平均と分散がどちらも λ」であること。 $E[X]=V[X]=\lambda$ で、λ が大きいほど件数のばらつきも大きくなります。

なぜ稀な事象の件数がこの形になるのか。発生の機会を細かい区間に分けると、各区間ではほぼ「起きる/起きない」の二択（二項分布）になります。区間を限りなく細かくした極限がポアソン分布です。

λ は「1単位あたりの平均件数」。対象とする期間や範囲を変えたら、λ も比例して変えます（例: 1時間 λ=3 なら2時間は λ=6）。

平均＝分散＝λ

$E[X]=V[X]=\lambda$ 。これが見分けの目印。

再生性（加法性）

独立な $X\sim \mathrm{Po}(\lambda_1)$

1時間に平均 λ=2 件の問い合わせがあるとき、ちょうど0件の確率は

$P(X=0)=e^{-2}\approx 0.135$ 。

1件以上の確率は

$1-e^{-2}\approx 0.865$

$X\sim \mathrm{Po}(\lambda)$ のとき分散は？

1時間に平均3件。2時間では平均何件？

独立に $X\sim \mathrm{Po}(2)$ , $Y\sim \mathrm{Po}(5)$ 。 $X+Y$ は？