加法性

確率・定理

ひとことで言うと

加法性（再生性）とは『同じ族の独立な分布を足すと、また同じ族に戻る』性質です。ポアソンどうしの和はポアソン、正規どうしの和は正規——ただし二項やガンマは"同じパラメータ"でないと成り立ちません。なぜ成り立つのか、その統一的な理由がモーメント母関数(MGF)です。

加法性をもつ主要分布。 $\mathrm{Pois}(3)+\mathrm{Pois}(5)=\mathrm{Pois}(8)$ をMGFの積で示す。正規は分散が加算、二項は同じ $p$ のとき $n$ が加算、ガンマは同じ $\beta$ のとき $\alpha$ が加算、 $\chi^2$ は自由度が加算。 $B(3,0.4)+B(5,0.6)$ は二項にならない。

数式で表すと

$\mathrm{Pois}(\lambda_1)+\mathrm{Pois}(\lambda_2)=\mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)$

同じ族で再生性をもつ分布の和の法則。例：独立ポアソンの和はポアソン（率は和）。

加法性（再生性）とは、ある分布族に属する独立な確率変数の和が、ふたたび同じ分布族に属する性質です。代表的なのがポアソン分布で、

X\sim\mathrm{Pois}(\lambda_1)

と

Y\sim\mathrm{Pois}(\lambda_2)

が独立なら

X+Y\sim\mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)

——率がそのまま加算されます。主要な分布の加法性：

N(\mu_1,\sigma_1^2)+N(\mu_2,\sigma_2^2)=N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)

（平均も分散も加算）、

\mathrm{Pois}(\lambda_1)+\mathrm{Pois}(\lambda_2)=\mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)

（率が加算）、

\chi^2_{k_1}+\chi^2_{k_2}=\chi^2_{k_1+k_2}

（自由度が加算）。条件付きで加法性をもつのが二項分布とガンマ分布です：

B(n_1,p)+B(n_2,p)=B(n_1+n_2,p)

は同じ

p

のときだけ、

\mathrm{Gamma}(\alpha_1,\beta)+\mathrm{Gamma}(\alpha_2,\beta)=\mathrm{Gamma}(\alpha_1+\alpha_2,\beta)

は同じ尺度

\beta

のときだけ成り立ちます。なぜ加法性が成り立つのか——モーメント母関数(MGF)を使えば統一的に証明できます。鍵となる事実は『独立な和のMGFは、各MGFの積になる』こと、すなわち

X,Y

独立のとき

M_{X+Y}(t)=M_X(t)\,M_Y(t)

です。さらにMGFには『分布とMGFは1対1に対応する』という一意性があるので、積を計算した結果がある分布のMGFと一致すれば、和はその分布だと確定できます。ポアソンで実演すると、

M_{\mathrm{Pois}(\lambda)}(t)=\exp(\lambda(e^{t}-1))

なので

M_{X+Y}(t)=e^{\lambda_1(e^{t}-1)}\cdot e^{\lambda_2(e^{t}-1)}=e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^{t}-1)}

となり、これはまさに

\mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)

のMGFそのもの。この『MGFの積』の視点から、二項・ガンマでパラメータ制約が要る理由も見えます。二項のMGFは

M_{B(n,p)}(t)=(1-p+pe^{t})^{n}

で、底

(1-p+pe^{t})

が

p

に依存します。

p

が同じなら積は

(1-p+pe^{t})^{n_1+n_2}

ときれいに指数がまとまり

B(n_1+n_2,p)

になりますが、

p

が違うと底が違って二項のMGFの形になりません。だから

B(3,0.4)+B(5,0.6)

は二項分布になりません。ガンマも同様で、

\beta

が共通のときだけ形状

\alpha

が加算されます。『同じ族＋共通パラメータ＋独立』の3条件がそろって初めて加法性が働く、と覚えてください。

試験に出る性質

MGFの積が本質

独立なら $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$ 。MGFの一意性で、積がある分布のMGFと一致すれば和はその分布と確定する。

無条件で加法性をもつ族

正規（平均・分散とも加算）、ポアソン（率が加算）、カイ二乗（自由度が加算）。独立でさえあれば和が同族に戻る。

パラメータ制約つきの族

二項は同じ $p$ のとき $n$ が加算、ガンマは同じ尺度 $\beta$ のとき形状 $\alpha$ が加算。共通パラメータが必須。

独立性が前提

加法性は独立な和に対する性質。従属だと和のMGFが積に分解できず、同族に戻る保証はない。

閉じない分布もある

一様分布や対数正規は和に関する再生性をもたない。和をとると別の分布になる（一様の和は三角形など）。

例で見る

ポアソンの加法性をMGFで証明する。 $M_{\mathrm{Pois}(\lambda)}(t)=\exp(\lambda(e^{t}-1))$ なので、独立な $X\sim\mathrm{Pois}(3),\ Y\sim\mathrm{Pois}(5)$ に対し $M_{X+Y}(t)=e^{3(e^{t}-1)}\cdot e^{5(e^{t}-1)}=e^{8(e^{t}-1)}=M_{\mathrm{Pois}(8)}(t)$ 。よって $X+Y\sim\mathrm{Pois}(8)$ 。二項の注意： $B(3,0.4)+B(5,0.4)=B(8,0.4)$ は成立（同じ $p$ ）。一方 $B(3,0.4)+B(5,0.6)$ は $p$ が違うので二項分布にならない。

つまずきポイント

二項・ガンマでパラメータが違っても加算できると思う（ $B(3,0.4)+B(5,0.6)$ は二項にならない。 $p$ や $\beta$ が共通のときだけ加法性が働く）
従属な場合にも和が同族に戻ると思い込む（加法性は独立が前提。従属だとMGFが積に分解できず保証されない）
あらゆる分布が和で閉じると誤解する（一様・対数正規などは再生性をもたない。和は別の分布になる）

定着クイズ

独立な $X\sim\mathrm{Pois}(3),Y\sim\mathrm{Pois}(5)$ の和の分布は？

加法性の証明で使うMGFの性質は？

二項分布が加法性をもつのはどんなとき？

関連：#ポアソン #正規分布 #畳み込み

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