モーメント

高次のモーメントには直感的な意味があります。次数を上げて、しかも単位をそろえるため標準偏差 $\sigma=\sqrt{\mu_2}$ で割った標準化モーメントを使うと、分布の形だけを取り出せます。3次の標準化モーメントは歪度（skewness） $\text{歪度}=\dfrac{\mu_3}{\sigma^3}$ で、分布が左右どちらに偏っているか（正なら右に裾が長い）を測ります。4次の標準化モーメントは尖度（kurtosis） $\text{尖度}=\dfrac{\mu_4}{\sigma^4}$ で、裾の重さ・とがり具合を測ります（正規分布で3、そこからの超過分を超過尖度と呼ぶ）。なお モーメント母関数（積率母関数（MGF））を使うと、各次のモーメントを微分で機械的に取り出せます（$m_k=M^{(k)}(0)$）が、ここでは深入りせず「モーメントという道具そのもの」の整理に集中します。

実際に指数分布 $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=2)$ で計算してみましょう。$E[X]=1/\lambda=0.5$、$E[X^2]=2!/\lambda^2=2/4=0.5$ なので、分散は $V[X]=E[X^2]-E[X]^2=0.5-0.25=0.25$（$\sigma=0.5$） です。3次の中心モーメントは $\mu_3=2/\lambda^3=2/8=0.25$ で、歪度は $\dfrac{\mu_3}{\sigma^3}=\dfrac{0.25}{0.125}=2$ です。指数分布の歪度は常に2で、$\lambda$ に依存しないという有名な性質が確認できます（右に裾が長い）。4次の中心モーメントは $\mu_4=9/\lambda^4=9/16=0.5625$ で、尖度は $\dfrac{\mu_4}{\sigma^4}=\dfrac{0.5625}{0.0625}=9$ です。これも $\lambda$ によらず常に9（超過尖度6）という性質です。位置・広がりだけでなく、歪み・とがりまでモーメントで一気にとらえられることが分かります。

$V[X]=0.5-0.25=0.25$（$\sigma=0.5$）。$\mu_3=2/\lambda^3=0.25$ なので歪度 $=0.25/0.125=2$。

$\mu_4=9/\lambda^4=0.5625$ なので尖度 $=0.5625/0.0625=9$。歪度2・尖度9はともに $\lambda$ に依存しない指数分布の性質。