分散

知識マップ

確率・用語

ひとことで言うと

「データが平均からどれくらい散らばっているか」を表す代表的な指標です。平均からのズレを2乗して平均したもので、値が大きいほどバラバラ、小さいほど平均の近くに集まっています。

同じ平均 μ をもつ2つの分布。分散が小さい方（実線）は中心に集まって背が高く、分散が大きい方（点線）は横に広がって低い。分散は“広がり”の度合い。

数式で表すと

$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$

期待値まわりのばらつき $\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ 。標準偏差はその平方根。

分散の定義は「平均からのズレ

X-\mu

を2乗した量の期待値」です：

\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]

。これを展開すると実用的な計算式

\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2

が得られます。「2乗の平均」から「平均の2乗」を引く、と覚えると計算が速くなります。ズレを2乗するのは、正のズレと負のズレが打ち消し合わないようにするためです。分散は2乗した量なので単位も元の2乗になります（金額なら「円の2乗」）。これを元の単位に戻したのが標準偏差

\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}

で、散らばりを元のスケールで語りたいときに使います。実務で頻出なのが線形変換と和の分散です。定数倍

aX+b

では

\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)

（定数

b

は散らばりに無関係、係数

a

は2乗で効く）。和では一般に

\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)

となり、独立なら共分散の項が消えて単純な足し算になります。

試験に出る性質

計算式

$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ 。「2乗の平均」−「平均の2乗」。

非負性

$\mathrm{Var}(X)\ge 0$ 。0になるのは $X$ が定数（散らばりゼロ）のときだけ。

線形変換

$\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$ 。定数 $b$ は影響せず、係数は2乗で効く。

和の分散

$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ 。独立なら共分散の項が消える。

標準偏差との関係

$\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ 。元の単位に戻した散らばりの指標。

例で見る

サイコロ1個の目 $X$ の分散を求める。 $E[X]=3.5$ 、 $E[X^2]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6\approx15.17$ なので $\mathrm{Var}(X)=15.17-3.5^2=15.17-12.25\approx2.92$ 。標準偏差は $\sqrt{2.92}\approx1.71$ 。

つまずきポイント

$E[X^2]$ と $(E[X])^2$ を取り違える（順序が逆だと負になってしまう）
定数倍の分散で $a$ をそのまま掛ける（正しくは $a^2$ 倍）
和の分散で独立を確認せず共分散の項 $2\mathrm{Cov}$ を落とす

定着クイズ

$E[X]=2,\ E[X^2]=9$ のとき $\mathrm{Var}(X)$ は？

$\mathrm{Var}(X)=4$ のとき $\mathrm{Var}(3X+5)$ は？

独立でない $X,Y$ について $\mathrm{Var}(X+Y)$ の正しい式は？

関連：#モーメント #共分散 #標本分散

この用語を扱う問題（2）