共分散

双線形性を繰り返し使うと、一般の線形結合の分散公式が導けます。分散は自己共分散だという事実 $V[W]=\mathrm{Cov}(W,W)$ から出発し、$W=\sum_i a_i X_i$ とおいて双線形性で両側を展開すると $V\!\Big(\sum_i a_i X_i\Big)=\mathrm{Cov}\!\Big(\sum_i a_i X_i,\ \sum_j a_j X_j\Big)=\sum_i\sum_j a_i a_j\,\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ という二重和の汎用公式になります。対角項（$i=j$）は $a_i^2\,\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=a_i^2\,V[X_i]$、非対角項（$i\neq j$）は $a_i a_j\,\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ で、対称性 $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)$ から非対角は2倍にまとまります。2変数に落とすと $V[aX+bY]=a^2V[X]+b^2V[Y]+2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)$（線形結合）という見慣れた式になり、和・差の分散公式もこの特別な場合だと分かります。双線形性さえ握っておけば、何変数の線形結合でも公式を暗記せずに導けるのが強みです。

もうひとつ強調したいのが、自己共分散は分散という自然な接続です。定義に $Y=X$ を代入すると $\mathrm{Cov}(X,X)=E[X^2]-(E[X])^2=V[X]$ となり、共分散は『分散を2変数に一般化したもの』だと分かります。だから上の二重和で $\mathrm{Cov}(X_i,X_i)$ が自然に分散になるのです。数値例で双線形性と自己共分散を確認しましょう。$X,Y\in\{0,1\}$ で同時確率を $P(0,0)=0.3,\ P(0,1)=0.1,\ P(1,0)=0.1,\ P(1,1)=0.5$ とします。$E[X]=P(X=1)=0.6$、$E[Y]=0.6$、$E[XY]=P(X=1,Y=1)=0.5$。よって $\mathrm{Cov}(X,Y)=0.5-0.6\cdot0.6=0.5-0.36=0.14>0$（同じ方向に動きやすい）。自己共分散は $X\sim\mathrm{Bernoulli}(0.6)$ なので $E[X^2]=E[X]=0.6$ より $\mathrm{Cov}(X,X)=0.6-0.36=0.24=V[X]$ で、確かに分散に一致します。

$E[X]=0.6,\ E[Y]=0.6,\ E[XY]=P(1,1)=0.5$。$\mathrm{Cov}(X,Y)=0.5-0.6\cdot0.6=0.14>0$（同方向）。

自己共分散：$X\sim\mathrm{Bernoulli}(0.6)$ で $E[X^2]=0.6$ より $\mathrm{Cov}(X,X)=0.6-0.36=0.24=V[X]$。