相関係数

標本の線形関係の強さ $r$。$[-1,1]$ をとり、$r^2$ が決定係数。

$r$ の重要な性質が線形変換への不変性です。$x$ や $y$ を正の定数倍したり定数を足したりしても（$x'=ax+b,\ a>0$ など）、$r$ の値は変わりません。たとえば気温を摂氏から華氏に直しても、身長を cm から m に変えても、相関係数は同じです。これは分子・分母に同じ係数 $a$ が掛かって約分されるためで、$r$ が『単位に依存しない、標準化されたものさし』であることを示します。ただし負の定数倍では符号が反転します（$a<0$ なら $r\to-r$）。向きを反転させる変換なので、右上がりが右下がりに変わるぶん符号だけが変わり、絶対値（関係の強さ）は保たれます。

そして 決定係数との連携が試験頻出です。単回帰では $r^2=R^2$ が成り立ちます。相関係数を二乗すると、ちょうど決定係数（回帰が説明できた変動の割合）になるのです。実際 $R^2=S_{xy}^2/(S_{xx}S_{yy})=(S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}})^2=r^2$ と展開できます。だから $r=0.9$ なら $R^2=0.81$ で、相関の強さと回帰の説明力が表裏一体だと分かります。最後に注意点として、$r$ はあくまで直線的な関係しか捉えません。きれいな放物線のような強い非線形の関係があっても $r$ が0に近くなることがあるので、$r$ が小さい＝無関係と即断せず、必ず散布図を見る習慣が大切です（相関は因果でもありません）。

$r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}=9/\sqrt{10\times10}=9/10=0.9$。強い正の相関。

$r^2=0.81$ で、C072の決定係数 $R^2=0.81$ と完全に一致する。