相関

確率・用語・多変量・合成

先に確認：共分散

ひとことで言うと

共分散は「XとYが同じ方向に動く傾向があるか」を符号付きの数値で表したもの。相関係数はそれを-1〜1の範囲に正規化して、関係の強さを比較できるようにしたものです。

身長と体重の関係保険契約件数と保険金支払総額の関係気温とアイスクリームの売上の関係教育年数と所得の関係株価指数と個別株のリターンの関係

2つの変数の「一緒に動く度合い」を扱う場面全般で使います。共分散は単位（cmやkgなど）の影響を受けて大きさの比較がしにくいため、実務では単位に依存しない相関係数の方がよく使われます。

散布図上で平均X̄・Ȳの交差線を引くと4つの領域に分かれる。右上・左下（同じ符号側）の点が多いほど共分散は正、右下・左上に多いほど負になる。

\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}

共分散の定義は $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]$

和の分散公式

$V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}(X,Y)$

$V[X]=4,\ V[Y]=9,\ \mathrm{Cov}(X,Y)=3$ のとき

$V[X]=2,\ V[Y]=5,\ \mathrm{Cov}(X,Y)=1$ のとき $V[X+Y]$ は？

$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ （無相関）であるとき、必ず言えることは？

相関係数ρの取りうる範囲は？