無相関

確率・用語

ひとことで言うと

無相関とは $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 、つまり直線的な連動がないこと。よくある誤解が『無相関＝独立』ですが、これは一般には間違いです。無相関でも、曲線的な強い依存が残っていることがあります。その正面からの反例を押さえるのがこの項の核心です。

無相関でも独立でない典型反例。 $X\sim U\{-1,0,1\}$ 、 $Y=X^2$ 。 $E[XY]=E[X^3]=0$ なので $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ （無相関）だが、 $X$ が分かれば $Y$ は完全に決まるので独立でない。2変量正規に限れば無相関 $\Rightarrow$ 独立（C017）。

数式で表すと

$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$

$\mathrm{Cov}=0$ 。独立なら無相関だが、逆は一般に成り立たない（正規なら同値）。

無相関とは共分散がゼロ、

\mathrm{Cov}(X,Y)=0

（同値に相関係数

\rho=0

）の状態をいいます。共分散は2変数の直線的な連動を測る量なので、無相関は『線形な関係がない』ことを意味します。ここで決定的に重要なのが、独立と無相関の一方向だけの含意です。独立ならば無相関は常に成り立ちます（独立なら

E[XY]=E[X]E[Y]

なので

\mathrm{Cov}=0

）。しかしその逆『無相関ならば独立』は一般には成り立ちません。無相関は独立より弱い条件なのです。なぜなら共分散が捉えるのは線形な連動だけで、

X

と

Y

が曲線的（非線形）に強く依存していても、その依存が線形成分として相殺されれば

\mathrm{Cov}=0

になりうるからです。この『無相関だが独立でない』を正面から示す古典的反例を見ましょう。

X

が

\{-1,0,1\}

に一様分布（各確率

1/3

）し、

Y=X^2

と定義します。

Y

は

X

から完全に決まるので、両者にはこれ以上ないほど強い依存があります。それでも共分散を計算すると——

E[X]=0

、

E[Y]=E[X^2]=2/3

、そして

E[XY]=E[X^3]=(-1+0+1)/3=0

。したがって

\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0-0\cdot\tfrac{2}{3}=0

で無相関です。一方、

P(Y=1\mid X=1)=1\neq\frac{2}{3}=P(Y=1)

なので独立ではありません。共分散が拾うのは線形成分だけなので、

Y=X^2

という左右対称な放物線的依存は、正の側（

X=1

）と負の側（

X=-1

）の寄与が打ち消し合って

\mathrm{Cov}=0

になる——けれど依存そのものは厳然と残っています。ただし例外があります。

X,Y

が2変量正規分布に従う場合に限っては、無相関

\Rightarrow

独立が成り立ちます（

\rho=0

を同時密度に入れると

f_X(x)f_Y(y)

の積に因数分解されるため）。だから『無相関ならば独立』が使えるのは2変量正規という特別な前提があるときだけと覚えてください。一般の分布では無相関は独立より弱く、上の

Y=X^2

のような反例がいつでも存在しうる——この非対称な関係（独立

\Rightarrow

無相関は真、逆は2変量正規でのみ真）が試験で最も問われるポイントです。

試験に出る性質

定義

$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ （ $\rho=0$ ）。直線的な連動がない状態で、 $E[XY]=E[X]E[Y]$ と同値。

独立→無相関は常に真

独立なら $E[XY]=E[X]E[Y]$ から必ず無相関。含意は一方向に必ず成り立つ。

無相関→独立は一般に偽

無相関は独立より弱い。非線形な依存が線形成分として相殺されれば $\mathrm{Cov}=0$ でも依存しうる。

典型反例 Y=X²

$X\sim U\{-1,0,1\},Y=X^2$ は $\mathrm{Cov}=0$ だが $X$ が $Y$ を完全に決める。無相関でも強い依存の例。

2変量正規では同値

2変量正規に限り無相関 $\Rightarrow$ 独立（C017）。同時密度が積に因数分解されるため。これは正規特有の例外。

例で見る

$X\sim U\{-1,0,1\}$ （各 $1/3$ ）、 $Y=X^2$ 。 $E[X]=0$ 、 $E[Y]=E[X^2]=\frac{2}{3}$ 、 $E[XY]=E[X^3]=0$ 。 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0-0\cdot\frac{2}{3}=0$ （無相関）。だが $P(Y=1\mid X=1)=1\neq\frac{2}{3}=P(Y=1)$ なので独立でない。 $X$ が $Y$ を完全に決める強い依存があるのに無相関。

つまずきポイント

『無相関ならば独立』を一般の分布で使う（一般には偽。 $Y=X^2$ のように無相関でも強く依存する例がある。逆向き『独立→無相関』だけが常に真）
無相関を『何の関係もない』と解釈する（無相関は線形な関係がないだけ。曲線的な依存は残りうる）
2変量正規の例外を忘れる（無相関 $\Rightarrow$ 独立が言えるのは2変量正規のときだけ。前提を必ず確認する）

定着クイズ

無相関と独立の正しい関係は？

$X\sim U\{-1,0,1\},Y=X^2$ について正しいのは？

『無相関ならば独立』が成り立つのは？

関連：#相関 #独立性 #2変量正規

この用語を扱う問題（1）

無相関と独立確率・★★