無相関

この『無相関だが独立でない』を正面から示す古典的反例を見ましょう。$X$ が $\{-1,0,1\}$ に一様分布（各確率 $1/3$）し、$Y=X^2$ と定義します。$Y$ は $X$ から完全に決まる（$X$ を知れば $Y$ は確定する）ので、両者にはこれ以上ないほど強い依存があります。それでも共分散を計算すると——$E[X]=\frac{-1+0+1}{3}=0$、$E[Y]=E[X^2]=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}$、そして $E[XY]=E[X\cdot X^2]=E[X^3]=\frac{(-1)^3+0+1^3}{3}=0$。したがって $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0-0\cdot\tfrac{2}{3}=0$ で無相関です。一方、独立かどうかを確かめると、$P(Y=1\mid X=1)=1$ なのに対し周辺では $P(Y=1)=P(X=\pm1)=\frac{2}{3}$ なので $P(Y=1\mid X=1)=1\neq\frac{2}{3}=P(Y=1)$、つまり独立ではありません。共分散が拾うのは線形成分だけなので、$Y=X^2$ という左右対称な放物線的依存は、正の側（$X=1$）と負の側（$X=-1$）の寄与が打ち消し合って $\mathrm{Cov}=0$ になる——けれど依存そのものは厳然と残っている、というわけです。

ただし例外があります。$X,Y$ が2変量正規分布に従う場合に限っては、無相関 $\Rightarrow$ 独立が成り立ちます（2変量正規 C017 で詳述。$\rho=0$ を同時密度に入れると $f_X(x)f_Y(y)$ の積に因数分解されるため）。だから『無相関ならば独立』が使えるのは2変量正規という特別な前提があるときだけ、と覚えてください。一般の分布では無相関は独立より弱く、上の $Y=X^2$ のような反例がいつでも存在しうる——この非対称な関係（独立 $\Rightarrow$ 無相関は真、逆は2変量正規でのみ真）が試験で最も問われるポイントです。

$E[X]=0$、$E[Y]=E[X^2]=\frac{2}{3}$、$E[XY]=E[X^3]=\frac{-1+0+1}{3}=0$。$\mathrm{Cov}(X,Y)=0-0\cdot\frac{2}{3}=0$（無相関）。

だが $P(Y=1\mid X=1)=1\neq\frac{2}{3}=P(Y=1)$ なので独立でない。$X$ が $Y$ を完全に決める強い依存があるのに無相関。