確率変数の独立

• 同時確率。独立なら行の周辺 × 列の周辺に一致する（$0.5\times0.5=0.25$）

同時分布が周辺分布の積に分解できるのが独立

同時分布が周辺分布の積になる関係。$E[XY]=E[X]E[Y]$、分散は単純に加わる。

周辺分布との連携で大事なのは、周辺分布だけでは同時分布は決まらないという点です。同じ周辺分布をもつ同時分布はいくつもあり、その中で『同時分布＝周辺の積』という特別な関係を満たすものだけが独立です。例として、$X,Y$ をそれぞれ独立な $\mathrm{Bernoulli}(0.5)$ とすると、同時分布表は4マスすべてが $0.25$ で、各マスがちょうど行の周辺 $0.5$ ×列の周辺 $0.5=0.25$ になっています（図）。これが独立の最も簡単な姿です。逆に、もし周辺は同じ $0.5$ ずつでも対角に確率が偏った表（例：$P(0,0)=P(1,1)=0.5$）なら、周辺は同じでも積に分解されず独立ではありません。「周辺が同じでも同時は一意でない、独立はその中の特別な強い条件」という見方を押さえてください。

3変数以上で必ず注意したいのがペアごと独立（pairwise）と全体の独立（mutual）の違いです。次の有名な反例で確認します。$X,Y$ を独立な $\mathrm{Bernoulli}(0.5)$ とし、$Z=X\oplus Y$（排他的論理和。$X+Y$ を2で割った余り）と定義します。このとき $X,Y,Z$ はペアごとには独立です。たとえば $P(X=0,Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.25$ で、$P(X=0)P(Z=0)=0.5\times0.5=0.25$ に等しく（$Z$ は0と1を各 $0.5$ でとる）、他の組も同様に確認できます。ところが3つ同時には独立ではありません。$P(X=0,Y=0,Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.25$（$X=Y=0$ なら $Z=0$ は自動）ですが、もし3つが独立なら $P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)=0.5^3=0.125$ になるはずで、$0.25\ne0.125$ と食い違います。つまり「どの2つを取り出しても独立」でも「3つまとめて独立」とは限らない。この『ペアごと独立だが全体では独立でない』反例は試験でも問われる重要ポイントです（事象の独立でも事象レベルの同種の反例を扱っています）。

独立と無相関（$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$）の関係にも注意が必要です。独立ならば必ず無相関になりますが、逆は成り立ちません。無相関は「線形な関係がない」というだけの弱い条件で、非線形な依存関係が残っていても $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ になり得ます（$Y=X^2$型の反例や2変量正規に限った例外は 無相関 で詳しく扱います）。「無相関⇒独立」だと早合点しないことが重要です。

全体では非独立：$P(X=0,Y=0,Z=0)=0.25\ne P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)=0.5^3=0.125$。