周辺分布

確率・用語・期待値・モーメント

ひとことで言うと

2つ（以上）の変数の同時分布から、片方の変数だけに注目してその分布を取り出したものが周辺分布です。表なら「行ごと・列ごとの合計」、連続なら「一方の変数で積分」して得ます。注意したいのは逆方向：周辺分布が分かっても、元の同時分布は一意には決まりません。

$2\times2$ の同時分布表。各セルが同時確率 $P(X,Y)$ 。行方向に足すと $X$ の周辺分布（ $P(X{=}1){=}0.3$ 、 $P(X{=}2){=}0.7$

f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dy

周辺分布とは、複数の変数の同時分布から、一方の変数を「足し合わせて消す」ことで得られる、各変数単独の分布です。連続なら同時密度 $f_{X,Y}(x,y)$ を相手の変数で積分し $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dy$

定義（連続）

$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dy$

同時確率表 $P(1,1){=}0.1,\ P(1,2){=}0.2,\ P(2,1){=}0.3,\ P(2,2){=}0.4$

連続の場合、 $X$ の周辺分布 $f_X(x)$ の求め方は？

同時確率 $P(1,1){=}0.1,P(1,2){=}0.2,P(2,1){=}0.3,P(2,2){=}0.4$ のときの $P(X{=}1)$ は？

周辺分布から元の同時分布を一意に復元できるか？