条件付き期待値

確率・用語

ひとことで言うと

「Yの値が分かったという前提のもとで計算した、Xの平均値」です。条件によってXの平均が変わるので、Yの値ごとに別々の平均が決まります。

Yの各値ごとに、Xの条件付き期待値 $E[X\mid Y=y]$ が異なる高さの点として決まる。点線は、それらをYの分布で平均した全体の期待値 $E[X]$ 。

$E[X\mid Y=y]=\int x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx$

$Y=y$ を与えた下での $X$ の期待値 $E[X\mid Y=y]$ 。繰り返し期待値の構成要素。

E[X\mid Y=y]

は「

Y=y

と分かった世界の中での

X

の平均」で、連続なら

E[X\mid Y=y]=\int x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx

と、条件付き密度

f_{X\mid Y}

で重みづけた平均として定義されます（離散なら積分が和に変わるだけ）。普通の期待値との違いは、Yの値で絞り込んだ後の平均だという点です。ここで大切なのが、

y

を具体的な値に固定すれば

E[X\mid Y=y]

はただの数値ですが、

y

を動かすと「Yの関数」になることです。Yをまだ観測していない状態で

y

を変数のまま残したものを

E[X\mid Y]

と書き、これは

Y

の値で決まる確率変数になります。この“確率変数としての条件付き期待値”が、次の繰り返し期待値（全期待値の法則）の主役です。アクチュアリーの文脈では「契約者のリスク層 Y が分かれば、その層での平均クレーム額

E[X\mid Y]

が決まる」といった形で使い、層ごとの平均を全体に集計する土台になります。

定義

$E[X\mid Y=y]=\int x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx$ 。 $Y=y$ で絞った世界でのXの平均。

値を固定すれば数値、変数なら確率変数

$E[X\mid Y=y]$ は数値だが、 $E[X\mid Y]$ は $Y$ の関数＝確率変数。

独立なら定数

$X$ と $Y$ が独立なら $E[X\mid Y=y]=E[X]$ （Yの情報が効かない）。

線形性

$E[aX+bZ\mid Y]=aE[X\mid Y]+bE[Z\mid Y]$ 。条件付きでも期待値の線形性は成り立つ。

繰り返し期待値の素材

$E[X\mid Y]$ をYで平均すると全体の期待値に戻る： $E[X]=E\big[E[X\mid Y]\big]$ 。

サイコロを振り、出た目 $Y$ の回数だけコインを投げて表の枚数を $X$ とする。 $Y=y$ なら表の枚数は $B(y,0.5)$ なので $E[X\mid Y=y]=0.5\,y$ 。例えば $Y=4$ なら $E[X\mid Y=4]=2$ 枚。Yの値ごとにXの平均が変わる。

$E[X\mid Y=y]$ が表すものは？

$E[X\mid Y]$ （yを固定しない形）の性質は？

XとYが独立のとき $E[X\mid Y=y]$ は？

この用語を扱う問題（2）