繰り返し期待値

知識マップ

確率・定理

ひとことで言うと

「いったんYの値ごとにXの平均を出し、それをYの起こりやすさで平均し直すと、Xの全体の平均に戻る」という法則です。場合分けして平均してから足し合わせる、という日常の感覚そのものです。

棒の高さが各 $E[X\mid Y=y]$ 、棒の幅（重み）がYの確率。これらを加重平均した点線の高さが、全体の期待値 $E[X]$ に一致する。

数式で表すと

$E[X]=E\big[E[X\mid Y]\big]$

全期待値の法則。条件付き期待値を平均すると周辺期待値に戻る。

繰り返し期待値の法則（全期待値の法則）は

E[X]=E\big[E[X\mid Y]\big]

と書きます。内側の

E[X\mid Y]

はYの関数（確率変数）で、それをさらにYで平均（外側の期待値）すると、もとの

E[X]

に戻る、という二段構えの式です。離散なら

E[X]=\sum_y E[X\mid Y=y]\,P(Y=y)

と、各条件付き期待値をYの確率で加重平均する形になります。使いどころは「Xを直接平均するのは大変だが、Yで場合分けすれば各ケースの平均は簡単」というときです。まず条件付きで楽に平均を出し、最後にYの分布で重みづけて足す、という分割統治ができます。分散にも対応する公式があり、

\mathrm{Var}(X)=E[\mathrm{Var}(X\mid Y)]+\mathrm{Var}(E[X\mid Y])

（分散分解／全分散の法則）。前者は「各層内のばらつきの平均」、後者は「層ごとの平均値のばらつき」で、複合分布やリスク層別の分散計算で頻出します。

試験に出る性質

全期待値の法則

$E[X]=E\big[E[X\mid Y]\big]=\sum_y E[X\mid Y=y]P(Y=y)$ 。

分割統治に使える

直接平均しにくいXを、Yで場合分けして条件付き期待値→加重平均で求められる。

全分散の法則

$\mathrm{Var}(X)=E[\mathrm{Var}(X\mid Y)]+\mathrm{Var}(E[X\mid Y])$ 。層内分散の平均＋層間平均の分散。

複合分布での利用

複合ポアソンなど「ランダムな個数の和」の平均・分散を求める標準ツール。

独立なら自明

$X,Y$ 独立なら $E[X\mid Y]=E[X]$ なので法則は当たり前に成り立つ。

例で見る

$N\sim Po(\lambda)$ 件のクレームがあり、各クレーム額 $X_i$ が独立で平均 $\mu$ のとき、総クレーム額 $S=\sum_{i=1}^{N}X_i$ の平均は $E[S]=E\big[E[S\mid N]\big]=E[N\mu]=\lambda\mu$ 。 Nで条件づけると $E[S\mid N]=N\mu$ となり、それをNで平均して $\lambda\mu$ を得る。

つまずきポイント

外側の期待値（Yで平均する操作）を忘れ、 $E[X\mid Y]$ のまま答えにしてしまう
加重平均の重み $P(Y=y)$ を付けず、条件付き期待値を単純平均する
分散分解で2項のうち片方（層間分散 or 層内分散の平均）を落とす

定着クイズ

繰り返し期待値（全期待値）の法則の式は？

$E[X\mid Y=1]=10,\ E[X\mid Y=2]=20$ で $P(Y=1)=0.3,\ P(Y=2)=0.7$ のとき $E[X]$ は？

全分散の法則 $\mathrm{Var}(X)=E[\mathrm{Var}(X\mid Y)]+\mathrm{Var}(E[X\mid Y])$ の第2項が表すのは？

関連：#条件付き期待値 #複合ポアソン

この用語を扱う問題（2）