繰り返し期待値

確率・定理・期待値・モーメント

ひとことで言うと

「いったんYの値ごとにXの平均を出し、それをYの起こりやすさで平均し直すと、Xの全体の平均に戻る」という法則です。場合分けして平均してから足し合わせる、という日常の感覚そのものです。

棒の高さが各 $E[X\mid Y=y]$ 、棒の幅（重み）がYの確率。これらを加重平均した点線の高さが、全体の期待値 $E[X]$ に一致する。

E[X]=E\big[E[X\mid Y]\big]

全期待値の法則。条件付き期待値を平均すると周辺期待値に戻る。

繰り返し期待値の法則（全期待値の法則）は $E[X]=E\big[E[X\mid Y]\big]$ と書きます。内側の $E[X\mid Y]$ はYの関数（確率変数）で、それをさらにYで平均（外側の期待値）すると、もとの $E[X]$

全期待値の法則

$E[X]=E\big[E[X\mid Y]\big]=\sum_y E[X\mid Y=y]P(Y=y)$

$N\sim \mathrm{Po}(\lambda)$ 件のクレームがあり、各クレーム額 $X_i$ が独立で平均 $\mu$ のとき、総クレーム額 $S=\sum_{i=1}^{N}X_i$

繰り返し期待値（全期待値）の法則の式は？

$E[X\mid Y=1]=10,\ E[X\mid Y=2]=20$ で $P(Y=1)=0.3,\ P(Y=2)=0.7$ のとき $E[X]$ は？

はずれを引いたら再挑戦、当たりを引いたら終了する試行がある。当たりを引く確率が0.2のとき、終了までの回数の期待値 $E[X]$ は $E[X]=0.2\times1+0.8\times(1+E[X])$ を満たす。この方程式を解くと $E[X]$ は？