複合ポアソン

確率・公式

ひとことで言うと

「何件のクレームが来るか（件数 $N$ ）」も「1件あたりいくらか（損害額 $X$ ）」も両方ランダムなときの、総支払額 $S=X_1+\dots+X_N$ をモデル化したものです。件数がポアソン分布に従うとき、これを複合ポアソン分布と呼びます。

ランダムな件数 $N$ のクレームが発生し、各クレーム額（バラバラの高さ）が積み上がっていく総支払額 $S$ の階段。件数も1件ごとの額も両方ランダムなのが複合ポアソンの特徴。

数式で表すと

$E[S]=\lambda\mu,\ \mathrm{Var}(S)=\lambda(\sigma^2+\mu^2)$

件数 $N\sim\mathrm{Pois}(\lambda)$ 、各損害 $X$ の総和 $S=\sum X$ 。総支払額モデル。

複合ポアソン分布は、件数

N\sim\mathrm{Pois}(\lambda)

と、各クレーム額

X_1,X_2,\dots

（互いに独立で同分布、

N

とも独立、平均

\mu

・分散

\sigma^2

）を使って、総支払額

S=\sum_{i=1}^{N}X_i

と定める分布です。件数も金額も両方ランダムな「ランダムな個数の和」で、保険の総支払額モデルの基本形です。この

S

の平均と分散は、concept: 繰り返し期待値で見た全期待値・全分散の法則を複合ポアソンに当てはめることで導けます。まず平均は全期待値の法則

E[S]=E\big[E[S\mid N]\big]

から。

N

で条件づけると

E[S\mid N]=N\mu

なので、

E[S]=E[N\mu]=\mu E[N]=\lambda\mu

です（ポアソンの平均

E[N]=\lambda

）。分散は全分散の法則

\mathrm{Var}(S)=E[\mathrm{Var}(S\mid N)]+\mathrm{Var}(E[S\mid N])

を使います。

N

を固定すると独立な和なので

\mathrm{Var}(S\mid N)=N\sigma^2

、これを平均して第1項は

E[N\sigma^2]=\lambda\sigma^2

。第2項は

\mathrm{Var}(E[S\mid N])=\mathrm{Var}(N\mu)=\mu^2\mathrm{Var}(N)=\mu^2\lambda

（ポアソンは分散も

\lambda

）。合計して

\mathrm{Var}(S)=\lambda\sigma^2+\lambda\mu^2=\lambda(\sigma^2+\mu^2)

を得ます。

\sigma^2+\mu^2=E[X^2]

なので、

\mathrm{Var}(S)=\lambda\,E[X^2]

と覚えても同じです。この分散の式は「件数のばらつき（第2項

\lambda\mu^2

）」と「1件あたり金額のばらつき（第1項

\lambda\sigma^2

）」の両方が効いていることを示しています。たとえ1件あたりの額が一定（

\sigma^2=0

）でも、件数

N

がポアソンで揺らぐぶん総額には

\lambda\mu^2

の分散が残ります。なお複合ポアソンには再生性があり、独立な複合ポアソン

S_1\sim\mathrm{CP}(\lambda_1)

と

S_2\sim\mathrm{CP}(\lambda_2)

（同じ金額分布）の和は率

\lambda_1+\lambda_2

の複合ポアソンになります。複数の保険契約をまとめても同じ形のモデルで扱える、という便利な性質です。

試験に出る性質

定義

$N\sim\mathrm{Pois}(\lambda)$ 、各 $X_i$ 独立同分布（平均 $\mu$ ・分散 $\sigma^2$ ）で $S=\sum_{i=1}^N X_i$ 。

平均（全期待値の法則）

$E[S]=E[N\mu]=\lambda\mu$ 。concept: 繰り返し期待値の $E[S]=E[E[S\mid N]]$ そのもの。

分散（全分散の法則）

$E[\mathrm{Var}(S\mid N)]=\lambda\sigma^2$ 、 $\mathrm{Var}(E[S\mid N])=\mu^2\lambda$ 、合わせて $\mathrm{Var}(S)=\lambda(\sigma^2+\mu^2)=\lambda E[X^2]$ 。

件数と金額の両ばらつき

分散は1件あたり金額のばらつき $\lambda\sigma^2$ と件数のばらつき $\lambda\mu^2$ の和。金額一定でも件数の揺らぎが残る。

再生性

独立な複合ポアソン（同じ金額分布）の和はまた複合ポアソン。率は $\lambda$ どうしの和になる。

例で見る

クレーム件数が $N\sim\mathrm{Pois}(\lambda=5)$ 、各クレーム額が平均 $\mu=4$ ・分散 $\sigma^2=9$ のとき、総支払額 $S$ は $E[S]=\lambda\mu=5\times4=20$ 、 $\mathrm{Var}(S)=\lambda(\sigma^2+\mu^2)=5\times(9+16)=125$ 。金額が一定（ $\sigma^2=0$ ）でも $\mathrm{Var}(S)=5\times16=80$ の分散が件数の揺らぎから残る。

つまずきポイント

分散を $\lambda\sigma^2$ だけにする（件数のばらつき由来の $\lambda\mu^2$ を落とさない。正しくは $\lambda(\sigma^2+\mu^2)$ ）
$\mathrm{Var}(S)$ を $E[S]$ の2乗などと混同する（平均は $\lambda\mu$ 、分散は $\lambda(\sigma^2+\mu^2)$ で別物）
件数 $N$ と金額 $X_i$ が独立であるという前提を忘れる（独立でないと上の公式は使えない）

定着クイズ

複合ポアソン $S=\sum_{i=1}^N X_i$ （ $N\sim\mathrm{Pois}(\lambda)$ 、各 $X$ は平均 $\mu$ ）の平均は？

複合ポアソンの分散 $\mathrm{Var}(S)$ は（各 $X$ の分散 $\sigma^2$ ）？

1件あたりの金額が一定（ $\sigma^2=0$ ）でも総額 $S$ に分散が残る理由は？

関連：#ポアソン #繰り返し期待値

この用語を扱う問題（5）