複合ポアソン

件数 $N\sim\mathrm{Pois}(\lambda)$、各損害 $X$ の総和 $S=\sum X$。総支払額モデル。

まず平均は全期待値の法則 $E[S]=E\big[E[S\mid N]\big]$ から。$N$ で条件づけると $E[S\mid N]=N\mu$ なので、$E[S]=E[N\mu]=\mu E[N]=\lambda\mu$ です（ポアソンの平均 $E[N]=\lambda$）。分散は全分散の法則 $V[S]=E[V[S\mid N]]+V[E[S\mid N]]$ を使います。$N$ を固定すると独立な和なので $V[S\mid N]=N\sigma^2$、これを平均して第1項は $E[N\sigma^2]=\lambda\sigma^2$。第2項は $V[E[S\mid N]]=V[N\mu]=\mu^2 V[N]=\mu^2\lambda$（ポアソンは分散も $\lambda$）。合計して $V[S]=\lambda\sigma^2+\lambda\mu^2=\lambda(\sigma^2+\mu^2)$ を得ます。$\sigma^2+\mu^2=E[X^2]$ なので、$V[S]=\lambda\,E[X^2]$ と覚えても同じです。

この分散の式は「件数のばらつき（第2項 $\lambda\mu^2$）」と「1件あたり金額のばらつき（第1項 $\lambda\sigma^2$）」の両方が効いていることを示しています。たとえ1件あたりの額が一定（$\sigma^2=0$）でも、件数 $N$ がポアソンで揺らぐぶん総額には $\lambda\mu^2$ の分散が残ります。なお複合ポアソンには再生性があり、独立な複合ポアソン $S_1\sim\mathrm{CP}(\lambda_1)$ と $S_2\sim\mathrm{CP}(\lambda_2)$（同じ金額分布）の和は率 $\lambda_1+\lambda_2$ の複合ポアソンになります。複数の保険契約をまとめても同じ形のモデルで扱える、という便利な性質です。

$E[S]=\lambda\mu=5\times4=20$、$V[S]=\lambda(\sigma^2+\mu^2)=5\times(9+16)=125$。

金額が一定（$\sigma^2=0$）でも $V[S]=5\times16=80$ の分散が件数の揺らぎから残る。