間引き

この定理のもっとも重要な発展点は、採用された事象（率 $\lambda p$）と不採用の事象（率 $\lambda(1-p)$）が、それぞれポアソン過程であるだけでなく、互いに独立になることです。元は1本の過程だったのに、ランダムに振り分けた2本が独立になる、というのは直感に反して感じられますが、ポアソン過程の特別な性質です。一般化すると、各事象を確率 $p_1,p_2,\dots,p_k$（$\sum p_j=1$）で $k$ 種類に分類すると、種類ごとの事象列はそれぞれ率 $\lambda p_j$ の独立なポアソン過程になります。

保険での定番の使い方は、クレームの分類です。クレームが率 $\lambda$ のポアソン過程で発生し、各クレームを独立に確率 $p$ で「大口」、$1-p$ で「小口」に分類すると、大口クレームの発生は率 $\lambda p$ のポアソン過程、小口クレームの発生は率 $\lambda(1-p)$ のポアソン過程となり、しかもこの2つは独立です。だから大口と小口を別々のポアソン過程として独立にモデル化してよい、という実務上の便利さが生まれます。

残りの低額クレーム（率 $18$ 件/月）とは互いに独立なので、2つを別々に扱ってよい。